Dimostrazione massimo di funzione

[pier c4]

ciao a tutti. dovrei dimostrare che se $f: RR \to RR $ continua e $\lim_[x\to\infty] f(x)$$=-oo$ , $f(x)$ ha massimo assoluto.
allora partendo dal fatto che $f(x)$ non puo essere costante,dovrei dimostrare che è decrescente.ma non mi sembra una buona strada perchè non ho abbastanza informazioni...qualche idea...?

[DajeForte]

Ti sei perso qualcosa perchè \(\displaystyle f(x)=-x \)

[pier c4]

credo di essermi proprio perso qualcosa sicuramente,però non ho capito cosa intendi..! potresti spiegarmi meglio per favore?

[DajeForte]

Che la funzione che ti ho scritto è definita in R, è continua e $\lim_[x\to\infty] f(x)$$=-oo$, ma non ha massimo assoluto ( e neanche relativo) in R.

[pier c4]

ah ora ho capito,è quello che pensavo anche io,evidentemente non ho letto bene il testo...sfortunatamente non ce l ho qua per verificare.avevo inteso di dimostrare che f HA massimo...e infatti non mi tornava...grazie per il contributo.

[pier c4]

"DajeForte":Che la funzione che ti ho scritto è definita in R, è continua e $f(x)$$=-oo$, ma non ha massimo assoluto ( e neanche relativo) in R.

ho verificato e il testo è come l ho postato nella prima risposta.ho ragionato: il limite è per $[x\to\infty]$ quindi per $+-oo$ ...quindi la funzione che hai detto non risponde ai requisiti,perche ha limite $+oo$ se $x\to\-infty$. tornando al mio ragionamento, dato che la funzione non può essere costante ma agli estremi ha lo stesso limite,per il teorema di rolle ha un massimo assoluto. pensandoci con attenzione ci sono arrivato! grazie comunque!

[ciampax]

Detto meglio: poiché $\lim_{x\to\infty} f(x)=-\infty$ allora esistono $a<0,\ b>0$ tale che $f(x)<0$ per $xb$ (teorema della permanenza del segno). Ora, supponendo che $f(a)b$ (perché?) tale che $f(a)=f(b_1)$ e da qui applicare Rolle.