Dimostrazione l^p spazio completo

[Ker2]

qualcuno sa dirmi dove posso trovare una dimostrazione sulla completezza dello spazio l^p con norma:radice p-esima della sommatoria delle potenze p-esime del valore assoluto di una successione che appartiene a l^p
????

[gugo82]

La dimostrazione della completezza di $L^p(mu)$ la puoi trovare su W. Rudin, Analisi Reale e Complessa, Bollati Boringhieri, cap. 3 Teorema 3.11, oppure su un qualunque libro decente di Analisi Funzionale.

[Gaal Dornick]

immagino parlasse di $l^p$
ma il suggerimento di gugo rimane la strada maestra.

[gugo82]

"Gaal Dornick":immagino parlasse di $l^p$
ma il suggerimento di gugo rimane la strada maestra.

Vabbè il caso degli spazi di successioni è particolare e si deduce dal caso generale delle funzioni a potenza $p$-esima sommabile su uno spazio di misura (infatti $l^p=L^p(mu)$ sullo spazio di misura $(NN, \wp (NN), mu)$ con $AA E in \wp (NN), mu(E)=|E|$).

Una dimostrazione della completezza di $l^p$ mi pare si trovi in rete da qualche parte (cerca con Google, almeno qualche anno fa c'era perchè mi ricordo di averla consultata) e più o meno procede così:

1) si fissa una successione di Cauchy $(a_m)_(m in NN) subset l^p$, ove ovviamente $AAm in NN, a_m=(a_(m,n))_(n in NN)subset RR$ con $\sum_(n=0)^(+oo) |a_(m,n)|^p<+oo$ (nota che ciò implica che $lim_(n to + oo) a_(m,n)=0$ perciò non puoi usare un passaggio al limite su $n$ per costruire la successione limite di $(a_m)_(m in NN)$ in $l^p$);

2) si prova che la condizione di Cauchy in $l^p$ per $(a_m)_(m in NN)$ implica che $AA n in NN$ la successione $(a_(m,n))_(m in NN)subset RR$ è di Cauchy in $RR$;

3) posto $AAn in NN, a_n=lim_(mto +oo)a_(m,n)$ ed $a=(a_n)_(n in NN)$, si prova che $a in l^p$ con un passaggio al limite nella condizione di Cauchy in $l^p$ per $(a_m)_(m in NN) subset l^p$;

4) sfruttando di nuovo la condizione di Cauchy in $l^p$ per $(a_m)_(m in NN)$ e la convergenza delle successioni $(a_(m,n))_(m in NN)$ verso $a_n$, si dimostra che $a$ è il limite in $l^p$ della successione $(a_m)_(m in NN)$.

Spero di aver illustrato bene il metodo.
Prova a farla da solo, Ker, non è difficilissima (anche se può risultare fastidioso lavorare con due indici).