Dimostrazione $L^p$ è completo
ciao a tutti, non mi è chiara la dimostrazione del teorema di Fischer-Riesz che sto studiando sul Brezis. Devo dimostrare il caso di $p$ finito.
Sia \(\displaystyle \{ f_n \} \) successione di Cauchy. Per provare che questa converge basta esibire una sua sottosuccessione convergente (già dimostrato).
Estraggo una sottosuccessione \(\displaystyle \{ f_{n_k} \} \) tale che
\(\displaystyle \|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p \leqslant 1/2^k \forall k \geqslant 1 \) (ho provato come farlo)
Scrivendo \(\displaystyle f_k \) al posto di \(\displaystyle f_{n_k} \) ho che
\(\displaystyle \|f_{k+1} -f_k\|_p \leqslant 1/2^k \forall k \geqslant 1 \)
Definisco
\(\displaystyle g_n(x)=\sum_{k=1}^n |f_{k+1}(x)-f_k(x)| \)
per cui
\(\displaystyle \|g_n \|_p \leqslant \sum_{k=1}^n \|f_{k+1}-f_k\|_p \leqslant \sum_{k=1}^n 1/2^k \leqslant 1 \)
valgono le ipotesi del teorema di Beppo Levi perchè
\(\displaystyle 0 \leqslant g_n \leqslant g_{n+1} \forall n \)
\(\displaystyle \mathrm{sup} \int g_n d\mu = \mathrm{sup} \|g_n \|_p^p \leqslant 1\) (qui ho usato \(\displaystyle g_n \geqslant 0 \))
quindi \(\displaystyle g_n(x) \to g(x) \mu-q.o. \) e in particolare \(\displaystyle g \in L^p \) perchè
\(\displaystyle \|g\|_p=\|\lim_{n \to \infty} g_n \|_p=\lim_{n \to \infty} \|g_n\|_p \leqslant 1\)
(qui ho usato la continuità della p-norma, che ho provato)
DA QUI IN POI NON MI E' CHIARO
Per \(\displaystyle m \geqslant n \geqslant 2 \) vale
\(\displaystyle |f_m(x)-f_n(x)| \leqslant |f_m(x) - f_{m-1}(x)| + ... + |f_{n+1}(x)-f_n(x)|\leqslant g(x)-g_{n-1}(x) \)
pertanto \(\displaystyle \{f_n(x)\} \) è di Cauchy \(\displaystyle \mu-q.o. \) e posto \(\displaystyle f(x) \) il suo limite vale
\(\displaystyle |f(x)-f_n(x)|\leqslant g(x) \forall n \geqslant 2 \)
Qualcuno saprebbe spigarmi quest'ultima parte? grazie
Sia \(\displaystyle \{ f_n \} \) successione di Cauchy. Per provare che questa converge basta esibire una sua sottosuccessione convergente (già dimostrato).
Estraggo una sottosuccessione \(\displaystyle \{ f_{n_k} \} \) tale che
\(\displaystyle \|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p \leqslant 1/2^k \forall k \geqslant 1 \) (ho provato come farlo)
Scrivendo \(\displaystyle f_k \) al posto di \(\displaystyle f_{n_k} \) ho che
\(\displaystyle \|f_{k+1} -f_k\|_p \leqslant 1/2^k \forall k \geqslant 1 \)
Definisco
\(\displaystyle g_n(x)=\sum_{k=1}^n |f_{k+1}(x)-f_k(x)| \)
per cui
\(\displaystyle \|g_n \|_p \leqslant \sum_{k=1}^n \|f_{k+1}-f_k\|_p \leqslant \sum_{k=1}^n 1/2^k \leqslant 1 \)
valgono le ipotesi del teorema di Beppo Levi perchè
\(\displaystyle 0 \leqslant g_n \leqslant g_{n+1} \forall n \)
\(\displaystyle \mathrm{sup} \int g_n d\mu = \mathrm{sup} \|g_n \|_p^p \leqslant 1\) (qui ho usato \(\displaystyle g_n \geqslant 0 \))
quindi \(\displaystyle g_n(x) \to g(x) \mu-q.o. \) e in particolare \(\displaystyle g \in L^p \) perchè
\(\displaystyle \|g\|_p=\|\lim_{n \to \infty} g_n \|_p=\lim_{n \to \infty} \|g_n\|_p \leqslant 1\)
(qui ho usato la continuità della p-norma, che ho provato)
DA QUI IN POI NON MI E' CHIARO
Per \(\displaystyle m \geqslant n \geqslant 2 \) vale
\(\displaystyle |f_m(x)-f_n(x)| \leqslant |f_m(x) - f_{m-1}(x)| + ... + |f_{n+1}(x)-f_n(x)|\leqslant g(x)-g_{n-1}(x) \)
pertanto \(\displaystyle \{f_n(x)\} \) è di Cauchy \(\displaystyle \mu-q.o. \) e posto \(\displaystyle f(x) \) il suo limite vale
\(\displaystyle |f(x)-f_n(x)|\leqslant g(x) \forall n \geqslant 2 \)
Qualcuno saprebbe spigarmi quest'ultima parte? grazie
Risposte
Beh, dato che:
\[
g = \sum_{k=1}^\infty |f_{k+1} - f_k|
\]
e gli addendi della serie sono positivi, hai:
\[
\begin{split}
|f_m-f_n| &\leq \sum_{k=n}^{m-1} |f_{k+1} -f_k| \\
&\leq \sum_{k=n}^\infty |f_{k+1}-f_k| \\
&= \sum_{k=1}^\infty |f_{k+1}-f_k| - \sum_{k=1}^{n-1} |f_{k+1}-f_k|\\
&= g - g_{n-1}\; .
\end{split}
\]
Dal fatto che la serie \(\sum_{k=1}^\infty |f_{k+1} -f_k|\) converge q.o., la successione dei resti \(g-g_{n-1}\) è infinitesima q.o.; dalla maggiorazione di sopra segue che \(|f_m-f_n|<\varepsilon\) per \(m\geq n\geq \nu\) non appena si sceglie \(\nu\) in guisa che \(g-g_{n-1}<\varepsilon\) per \(n>\nu\), sicché \((f_n)\) è di Cauchy per q.o. \(x\).
\[
g = \sum_{k=1}^\infty |f_{k+1} - f_k|
\]
e gli addendi della serie sono positivi, hai:
\[
\begin{split}
|f_m-f_n| &\leq \sum_{k=n}^{m-1} |f_{k+1} -f_k| \\
&\leq \sum_{k=n}^\infty |f_{k+1}-f_k| \\
&= \sum_{k=1}^\infty |f_{k+1}-f_k| - \sum_{k=1}^{n-1} |f_{k+1}-f_k|\\
&= g - g_{n-1}\; .
\end{split}
\]
Dal fatto che la serie \(\sum_{k=1}^\infty |f_{k+1} -f_k|\) converge q.o., la successione dei resti \(g-g_{n-1}\) è infinitesima q.o.; dalla maggiorazione di sopra segue che \(|f_m-f_n|<\varepsilon\) per \(m\geq n\geq \nu\) non appena si sceglie \(\nu\) in guisa che \(g-g_{n-1}<\varepsilon\) per \(n>\nu\), sicché \((f_n)\) è di Cauchy per q.o. \(x\).
Grazie gugo per la pronta risposta, esaustiva e chiara come sempre! 
questo semplicemente perchè \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} g-g_{n-1}=g-g=o\) (funzione nulla) \(\displaystyle \mu-q.o. \)?
grazie dell'aiuto
"gugo82":
Dal fatto che la serie \(\sum_{k=1}^\infty |f_{k+1} -f_k|\) converge q.o., la successione dei resti \(g-g_{n-1}\) è infinitesima q.o.
questo semplicemente perchè \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} g-g_{n-1}=g-g=o\) (funzione nulla) \(\displaystyle \mu-q.o. \)?
grazie dell'aiuto
Scusami ma non riesco davvero ad arrivare alla conclusione
Siamo arrivati a \(\displaystyle f_n(x) \to f(x) \) q.o.
\(\displaystyle |f(x)-f_n(x)|=|\lim_{m \to \infty} f_m(x) - f_n(x)| = \lim_{m \to \infty} |f_m(x)-f_n(x)| \leqslant \lim_{m \to \infty}(|f_m(x)-f_{m-1}(x)|+...+|f_{n+1}(x)-f_n(x)|) \leqslant \lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^m |f_{k+1}(x)-f_k(x)|=g(x) \)
sempre q.o. \(\displaystyle \forall n \), da cui
\(\displaystyle |f(x)|\leqslant |f_n(x)|+|f(x)-f_n(x)| \leqslant |f_n(x)|+g(x) \)
\(\displaystyle \Rightarrow |f(x)|^p \leqslant (|f_n(x)|+g(x))^p \Rightarrow \|f\|_p \leqslant \|f_n\|_p + \|g\|_p \)
e quindi \(\displaystyle f \in L^p \)
Ora mi dice di concludere con il teorema della convergenza dominata; devo quindi verificare:
(1) \(\displaystyle f_n(x) \to f(x) \) q.o. (OK)
(2) \(\displaystyle |f_n(x)|\leqslant g(x) \) q.o. (?)
(3) \(\displaystyle g \in L^1 \) (OK se \(\displaystyle \mu(X)<+\infty \), ma altrimenti?)
Siamo arrivati a \(\displaystyle f_n(x) \to f(x) \) q.o.
\(\displaystyle |f(x)-f_n(x)|=|\lim_{m \to \infty} f_m(x) - f_n(x)| = \lim_{m \to \infty} |f_m(x)-f_n(x)| \leqslant \lim_{m \to \infty}(|f_m(x)-f_{m-1}(x)|+...+|f_{n+1}(x)-f_n(x)|) \leqslant \lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^m |f_{k+1}(x)-f_k(x)|=g(x) \)
sempre q.o. \(\displaystyle \forall n \), da cui
\(\displaystyle |f(x)|\leqslant |f_n(x)|+|f(x)-f_n(x)| \leqslant |f_n(x)|+g(x) \)
\(\displaystyle \Rightarrow |f(x)|^p \leqslant (|f_n(x)|+g(x))^p \Rightarrow \|f\|_p \leqslant \|f_n\|_p + \|g\|_p \)
e quindi \(\displaystyle f \in L^p \)
Ora mi dice di concludere con il teorema della convergenza dominata; devo quindi verificare:
(1) \(\displaystyle f_n(x) \to f(x) \) q.o. (OK)
(2) \(\displaystyle |f_n(x)|\leqslant g(x) \) q.o. (?)
(3) \(\displaystyle g \in L^1 \) (OK se \(\displaystyle \mu(X)<+\infty \), ma altrimenti?)
Dopo un bel po' sono tornato sulla questione... ok, era una fregatura!
Per chiarezza (e per celebrare la mia soddisfazione) riscrivo tutto per bene, sia mai possa essere utile a qualcuno 
\(\displaystyle (X, \mathcal M, \mu) \) spazio misura
Sia \(\displaystyle \{f_n\} \) di Cauchy in \(\displaystyle L^p(X) \); per provare che questa converge in \(\displaystyle L^p(X) \) basta esibire una sua sottosuccessione convergente in \(\displaystyle L^p(X) \).
Abbiamo che
\(\displaystyle \forall k \in \mathbb N \; \exists n_k \in \mathbb N : \; \|f_n-f_m \|_p<1/2^k \; \forall m,n>n_k \)
dunque risulta definita una sottosuccessione \(\displaystyle \{f_{n_k} \} \) per la quale vale
\(\displaystyle \| f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \| < 1/2^k \; \forall k \geq 1 \)
Nel seguito per comodità scriveremo \(\displaystyle f_k \) al posto di \(\displaystyle f_{n_k} \)
Poniamo
\(\displaystyle g_n(x):=\sum_{k=1}^n |f_{k+1}(x) - f_k (x)| \)
per la disuguaglianza di Minkowski
\(\displaystyle \|g_n\|_p \leq \sum_{k=1}^n \|f_{k+1}-f_k \|_p<\sum<_{k=1}^n 1/2^k < 1 \; \Rightarrow \; g_n \in L^p(X) \)
inoltre le $g_n$ soddisfano le ipotesi del teorema di convergenza monotona[nota]Teorema di Beppo Levi o di convergenza monotona
Se \(\displaystyle \{\varphi_n\} \) una successione di funzioni $L^1$ tale che
\(\displaystyle 0\leq\varphi_n \leq \varphi_{n+1}\; \forall n \)
\(\displaystyle \mathrm{sup}\int_X \varphi \; d\mu < + \infty \)
allora \(\displaystyle \varphi_n \to \varphi \; \mu-\mathrm{q.o.} \) dove \(\displaystyle \varphi \) è una funzione $L^1$ finita e vale \(\displaystyle \|\varphi_n - \varphi \|_1 \to 0 \)[/nota]
\(\displaystyle \mathrm{(i)} \; 0\leq g_n \leq g_{n+1} \; \forall n \in \mathbb N\)
\(\displaystyle \mathrm{(ii)} \; \mathrm{sup}\int_X g_n \; d\mu=\mathrm{sup} \int_X |g_n| \; d\mu \leq \mathrm{sup}\int_X |g_n|^p \; d\mu < + \infty \)
pertanto \(\displaystyle g_n \rightarrow g \; \mu-\mathrm{q.o.} \) dove evidentemente
\(\displaystyle g(x)=\sum_{k=1}^{\infty} |f_{k+1}(x) - f_k (x)| \)
e in particolare, per la continuità della p-norma
\(\displaystyle \|g\|_p=\|\lim_{n \to \infty} g_n\|_p=\lim_{n\to\infty}\|g_n\|_p<1 \; \Rightarrow \; g \in L^p(X)\)
Ora
\(\displaystyle |f_m-f_n|\leq \sum_{k=n}^{m-1} |f_{k+1}-f_k|\leq \sum_{k=n}^{\infty} |f_{k+1}-f_k|=\sum_{k=1}^{\infty} |f_{k+1}-f_k| -\sum_{k=1}^{n-1} |f_{k+1}-f_k|=g-g_{n-1}=|g-g_{n-1}|\)
e, dato che \(\displaystyle g_{n-1} \rightarrow g \; \mu-\mathrm{q.o.}\), vale
\(\displaystyle \forall \varepsilon >0 \; \exists N_\varepsilon: \; |g_{n-1}(x)-g(x)|<\varepsilon \; \mathrm{per-q.o.} \;x \; \forall n>N_\varepsilon \)
pertanto
\(\displaystyle \forall \varepsilon >0 \; \exists N_\varepsilon: \; |f_m(x)-f_n(x)|\leq|g_{n-1}(x)-g(x)|<\varepsilon \; \mathrm{per-q.o.} \;x \; \forall n>N_\varepsilon \)
ovvero \(\displaystyle {f_n(x)} \) è \(\displaystyle \mu-\mathrm{q.o.} \) di Cauchy (in \(\displaystyle \mathbb R \) e quindi \(\displaystyle f_n to f \; \mu-\mathrm{q.o.} \)
Osserviamo che
\(\displaystyle |f(x)-f_n(x)|=|\lim_{m\to\infty} f_m(x) -f_n(x)|=\lim_{m\to\infty}|f_m(x)-f_n(x)|\leq \lim_{m\to\infty}(|f_m(x)-f_{m-1}(x)|+...+|f_{n+1}(x)-f_n(x)|)\leq \lim_{m\to\infty} \sum_{k=1}^m |f_{k+1}(x)-f_k(x)|=g(x) \; \mu-\mathrm{q.o.} \; \forall n \)
da cui
\(\displaystyle |f(x)|\leq|f_n(x)|+|f(x)-f_n(x)|\leq|f_n(x)|+g(x) \; \Rightarrow \; f \in L^p(X)\)
Infine, posto
\(\displaystyle h_n(x):=|f(x)-f_n(x)|^p \)
abbiamo che
\(\displaystyle \mathrm{(i)} \; h_n \to O \) (funzione nulla) \(\displaystyle \mu-\mathrm{q.o.} \) perchè \(\displaystyle f_n \to f \; \mu-\mathrm{q.o.} \)
\(\displaystyle \mathrm{(ii)} \; h_n\leq g^p\) perchè
\(\displaystyle |f(x)-f_n(x)|\leq g(x) \; \Rightarrow \; |f(x)-f_n(x)|^p\leq g(x)^p \)
\(\displaystyle g \in L^p(X) \; \Rightarrow \; \int_X |g|^p \; d\mu=\int_X g^p \; d\mu = \int_X |g^p| \; d\mu < +\infty \; \Rightarrow \; g^p \in L^1(X)\)
pertanto per il teorema di convergenza dominata[nota]Teorema di Lebesgue o di convergenza dominata
Se \(\displaystyle \{\varphi_n\} \) una successione di funzioni $L^1$ tale che
\(\displaystyle \varphi_n \to \varphi \; \mu-\mathrm{q.o.} \)
\(\displaystyle \exists \psi \in L^1: \; |\varphi_n(x)|\leq \psi(x) \; \mu-\mathrm{q.o.} \; \forall n \)
allora \(\displaystyle \|\varphi_n - \varphi\|_\ \to 0 \; \) con \(\displaystyle \varphi \in L^1 \)[/nota] concludiamo
\(\displaystyle \int_X |h_n - O| \; d\mu = \int_X |f-f_n|^p \; d\mu=\|f-f_n\|_p \to 0 \) per \(\displaystyle n \to \infty \)
ovvero \(\displaystyle {f_k} \) converge a $f$ in $L^p(X)$
Per chiarezza (e per celebrare la mia soddisfazione
) riscrivo tutto per bene, sia mai possa essere utile a qualcuno \(\displaystyle (X, \mathcal M, \mu) \) spazio misura
Sia \(\displaystyle \{f_n\} \) di Cauchy in \(\displaystyle L^p(X) \); per provare che questa converge in \(\displaystyle L^p(X) \) basta esibire una sua sottosuccessione convergente in \(\displaystyle L^p(X) \).
Abbiamo che
\(\displaystyle \forall k \in \mathbb N \; \exists n_k \in \mathbb N : \; \|f_n-f_m \|_p<1/2^k \; \forall m,n>n_k \)
dunque risulta definita una sottosuccessione \(\displaystyle \{f_{n_k} \} \) per la quale vale
\(\displaystyle \| f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \| < 1/2^k \; \forall k \geq 1 \)
Nel seguito per comodità scriveremo \(\displaystyle f_k \) al posto di \(\displaystyle f_{n_k} \)
Poniamo
\(\displaystyle g_n(x):=\sum_{k=1}^n |f_{k+1}(x) - f_k (x)| \)
per la disuguaglianza di Minkowski
\(\displaystyle \|g_n\|_p \leq \sum_{k=1}^n \|f_{k+1}-f_k \|_p<\sum<_{k=1}^n 1/2^k < 1 \; \Rightarrow \; g_n \in L^p(X) \)
inoltre le $g_n$ soddisfano le ipotesi del teorema di convergenza monotona[nota]Teorema di Beppo Levi o di convergenza monotona
Se \(\displaystyle \{\varphi_n\} \) una successione di funzioni $L^1$ tale che
\(\displaystyle 0\leq\varphi_n \leq \varphi_{n+1}\; \forall n \)
\(\displaystyle \mathrm{sup}\int_X \varphi \; d\mu < + \infty \)
allora \(\displaystyle \varphi_n \to \varphi \; \mu-\mathrm{q.o.} \) dove \(\displaystyle \varphi \) è una funzione $L^1$ finita e vale \(\displaystyle \|\varphi_n - \varphi \|_1 \to 0 \)[/nota]
\(\displaystyle \mathrm{(i)} \; 0\leq g_n \leq g_{n+1} \; \forall n \in \mathbb N\)
\(\displaystyle \mathrm{(ii)} \; \mathrm{sup}\int_X g_n \; d\mu=\mathrm{sup} \int_X |g_n| \; d\mu \leq \mathrm{sup}\int_X |g_n|^p \; d\mu < + \infty \)
pertanto \(\displaystyle g_n \rightarrow g \; \mu-\mathrm{q.o.} \) dove evidentemente
\(\displaystyle g(x)=\sum_{k=1}^{\infty} |f_{k+1}(x) - f_k (x)| \)
e in particolare, per la continuità della p-norma
\(\displaystyle \|g\|_p=\|\lim_{n \to \infty} g_n\|_p=\lim_{n\to\infty}\|g_n\|_p<1 \; \Rightarrow \; g \in L^p(X)\)
Ora
\(\displaystyle |f_m-f_n|\leq \sum_{k=n}^{m-1} |f_{k+1}-f_k|\leq \sum_{k=n}^{\infty} |f_{k+1}-f_k|=\sum_{k=1}^{\infty} |f_{k+1}-f_k| -\sum_{k=1}^{n-1} |f_{k+1}-f_k|=g-g_{n-1}=|g-g_{n-1}|\)
e, dato che \(\displaystyle g_{n-1} \rightarrow g \; \mu-\mathrm{q.o.}\), vale
\(\displaystyle \forall \varepsilon >0 \; \exists N_\varepsilon: \; |g_{n-1}(x)-g(x)|<\varepsilon \; \mathrm{per-q.o.} \;x \; \forall n>N_\varepsilon \)
pertanto
\(\displaystyle \forall \varepsilon >0 \; \exists N_\varepsilon: \; |f_m(x)-f_n(x)|\leq|g_{n-1}(x)-g(x)|<\varepsilon \; \mathrm{per-q.o.} \;x \; \forall n>N_\varepsilon \)
ovvero \(\displaystyle {f_n(x)} \) è \(\displaystyle \mu-\mathrm{q.o.} \) di Cauchy (in \(\displaystyle \mathbb R \) e quindi \(\displaystyle f_n to f \; \mu-\mathrm{q.o.} \)
Osserviamo che
\(\displaystyle |f(x)-f_n(x)|=|\lim_{m\to\infty} f_m(x) -f_n(x)|=\lim_{m\to\infty}|f_m(x)-f_n(x)|\leq \lim_{m\to\infty}(|f_m(x)-f_{m-1}(x)|+...+|f_{n+1}(x)-f_n(x)|)\leq \lim_{m\to\infty} \sum_{k=1}^m |f_{k+1}(x)-f_k(x)|=g(x) \; \mu-\mathrm{q.o.} \; \forall n \)
da cui
\(\displaystyle |f(x)|\leq|f_n(x)|+|f(x)-f_n(x)|\leq|f_n(x)|+g(x) \; \Rightarrow \; f \in L^p(X)\)
Infine, posto
\(\displaystyle h_n(x):=|f(x)-f_n(x)|^p \)
abbiamo che
\(\displaystyle \mathrm{(i)} \; h_n \to O \) (funzione nulla) \(\displaystyle \mu-\mathrm{q.o.} \) perchè \(\displaystyle f_n \to f \; \mu-\mathrm{q.o.} \)
\(\displaystyle \mathrm{(ii)} \; h_n\leq g^p\) perchè
\(\displaystyle |f(x)-f_n(x)|\leq g(x) \; \Rightarrow \; |f(x)-f_n(x)|^p\leq g(x)^p \)
\(\displaystyle g \in L^p(X) \; \Rightarrow \; \int_X |g|^p \; d\mu=\int_X g^p \; d\mu = \int_X |g^p| \; d\mu < +\infty \; \Rightarrow \; g^p \in L^1(X)\)
pertanto per il teorema di convergenza dominata[nota]Teorema di Lebesgue o di convergenza dominata
Se \(\displaystyle \{\varphi_n\} \) una successione di funzioni $L^1$ tale che
\(\displaystyle \varphi_n \to \varphi \; \mu-\mathrm{q.o.} \)
\(\displaystyle \exists \psi \in L^1: \; |\varphi_n(x)|\leq \psi(x) \; \mu-\mathrm{q.o.} \; \forall n \)
allora \(\displaystyle \|\varphi_n - \varphi\|_\ \to 0 \; \) con \(\displaystyle \varphi \in L^1 \)[/nota] concludiamo
\(\displaystyle \int_X |h_n - O| \; d\mu = \int_X |f-f_n|^p \; d\mu=\|f-f_n\|_p \to 0 \) per \(\displaystyle n \to \infty \)
ovvero \(\displaystyle {f_k} \) converge a $f$ in $L^p(X)$
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