Dimostrazione logaritmo naturale(xy)=ln(x)+ln(y)
Salve,
mi scuso di eventuali errori ma sono nuovo di questo sito.Vi posto comumque il mio problema:
Dimostrare che,con la definizione di logaritmo naturale come integrale,che ln(xy)=ln(x)+ln(y).La dimostrazione è assai banale con la sosstituzione u=x*v ma mi sono incartato con il cambio di estremi di integrazione.Potete spiegarmelo?
Punto n.2
dimostrare che la derviata dell'integrale che ha come estremi di integrazione superiore una funzione variabile è uguale alla funzione integranda per la derivata del estremo variabile...non so da dove partire.
Potete aiutarmi?
mi scuso di eventuali errori ma sono nuovo di questo sito.Vi posto comumque il mio problema:
Dimostrare che,con la definizione di logaritmo naturale come integrale,che ln(xy)=ln(x)+ln(y).La dimostrazione è assai banale con la sosstituzione u=x*v ma mi sono incartato con il cambio di estremi di integrazione.Potete spiegarmelo?
Punto n.2
dimostrare che la derviata dell'integrale che ha come estremi di integrazione superiore una funzione variabile è uguale alla funzione integranda per la derivata del estremo variabile...non so da dove partire.
Potete aiutarmi?
Risposte
Per il punto 1, comincia a postare il tuo procedimento, così vediamo dov'è il problema.
Per il punto 2, basta applicare il teorema di derivazione delle funzioni composte a [tex]$F(\varphi (x))$[/tex], ove [tex]$F(y)=\int_a^y f(t)\ \text{d} t$[/tex] (ovviamente la derivata di [tex]$F$[/tex] va calcolata tenendo presente il teorema fondamentale del calcolo integrale).
Per il punto 2, basta applicare il teorema di derivazione delle funzioni composte a [tex]$F(\varphi (x))$[/tex], ove [tex]$F(y)=\int_a^y f(t)\ \text{d} t$[/tex] (ovviamente la derivata di [tex]$F$[/tex] va calcolata tenendo presente il teorema fondamentale del calcolo integrale).
grazie per avermi risposto.Mi sembrava di essere stato chiaro nella formulazione della domanda cmq ti posto l'immagine con il mio procedimento.Cè anche lì la domanda dettagliata.Per definizione:
$ ln(xy)=int(1/u)du,tra 1 e xy. $
Esso per la proprietà additiva dell'integrale definito puo essere scritto come
$ int(1/u)du tra 1 e xy = int(1/u)du tra 1 e x + int(1/u)du tra x e xy $
A questo punto il primo integrale è proprio il ln(x).Per quanto riguarda il secondo integrale opero una sostituzione u= x*v quindi du=x*du
e l'integrale diventa: $ int(1/u)du tra x e xy = int(1/v)dv tra x e xy $
Adesso so che gli estremi diventano x=1 e xy =y in modo da avere ln(y)ma non so perchè.Potresti spiegarmelo???
Per quanto riguarda il punto 2 usando il primo teorema del calcolo trovo che si ha f(u) ma non riesco a capire perchè si ha la derivata prima dell'estremo di integrazione.
$ ln(xy)=int(1/u)du,tra 1 e xy. $
Esso per la proprietà additiva dell'integrale definito puo essere scritto come
$ int(1/u)du tra 1 e xy = int(1/u)du tra 1 e x + int(1/u)du tra x e xy $
A questo punto il primo integrale è proprio il ln(x).Per quanto riguarda il secondo integrale opero una sostituzione u= x*v quindi du=x*du
e l'integrale diventa: $ int(1/u)du tra x e xy = int(1/v)dv tra x e xy $
Adesso so che gli estremi diventano x=1 e xy =y in modo da avere ln(y)ma non so perchè.Potresti spiegarmelo???
Per quanto riguarda il punto 2 usando il primo teorema del calcolo trovo che si ha f(u) ma non riesco a capire perchè si ha la derivata prima dell'estremo di integrazione.
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