Dimostrazione Linearità integrale definito...

[inv3rse]

Ciao a tutti, stò studiando le proprietà degli integrali definiti con le relative dimostrazioni... Sto seguendo quelloche è riportato in una lezione di **** (http://www.****.it/lezioni/analisi-matematica/integrali/624-proprieta-fondamentali-degli-integrali-definiti.html)... C'è però un punto che non riesco a capire, ossia:

Grazie a queste disuguaglianze possiamo asserire che:



dall'altra parte abbiamo invece:



Quello che non capisco è: come si ricavano queste disuguaglianze?

Spero qualcuno possa aiutarmi... Grazie mille a tutti...

[RainbowInTheDark]

Quali sono le definizioni di $S(f, \tau)$ e $s(f, \tau)$ ?

[inv3rse]

Ciao, $ S(f, \tau) $ e $ s(f, \tau) $ sono rispettivamente la somma integrale superiore e la somma integrale inferirore di f rispetto alla decomposizione $ \tau $... Quindi per definizione sono:





con:





Grazie mille, ciao...

[RainbowInTheDark]

Consideriamo la prima serie di disuguaglianze.

Per la definizione stessa di $S$ e $s$, si ha che per ogni partizione $\tau$ di $[a,b]$, $s(f, \tau) <= int_{a}^b f(x) dx <= S(f, \tau)$. Da questo si ricava la prima disuguaglianza.
Per la seconda (dis)uguaglianza si usa il fatto che $S(f+g, \tau) = S(f, \tau) + S(g, \tau)$ in quanto $S$ è lineare (è una somma finita!).
Infine per la terza disuguaglianza sappiamo che raffinando la partizione $\tau$, $|\tau| \rightarrow 0$, allora $S(f, \tau) \rightarrow int_{a}^b f(x) dx$ e $s(f, \tau) \rightarrow int_{a}^b f(x) dx$. Quindi $S(f,\tau) - s(f, \tau) \rightarrow 0$ per $|\tau| \rightarrow 0$.
Allora per ogni $\epsilon>0$ esiste una partizione $\tau$ di $[a,b]$ tale che:
$S(f, \tau) - s(f, \tau) < frac{\epsilon}{2}$ e $S(g, \tau) - s(g, \tau) < frac{\epsilon}{2}$
e infine si ha $S(f, \tau)+S(g, \tau) - s(f, \tau)-s(g, \tau) <\epsilon$

La seconda serie di disuguaglianze dovrebbe essere analoga.