Dimostrazione limiti fondamentali

[Ranius1]

Credo di essermi perso in un bicchier d'acqua, però non riesco ad uscirne.
Sto dimostrando i limiti fondamentali delle successioni e sono partito da:
se $a > 1$, $lim_(n\to +oo) a^n = +oo$

Per dimostrare questo nessun problema, comunque vi scrivo la dimostrazione per avere un parere:

$a=1+d rightarrow a^n=(1+d)^n$
per un lemma del quale posso postare la dimostrazione ho che $a^n=(1+d)^n>= 1+n*d$
Dato che $AA k>0 EE n_0 | AA n > n_0, a^n > k rightarrow 1+n*d>k rightarrow n > (k-1)/d rightarrow n >(k-1)/(a-1)$
Di conseguenza è dimostrato.

Per dimostrare
se $|a| < 1$, $ lim_(n\to +oo) a^n = 0$

pensavo di fare così $a = 1/b, b>1$ quindi $lim_(n\to +oo) (1/b)^n = lim_(n\to +oo) 1/(b^n) = 0$

La seconda dimostrazione è lecita oppure devo operare in altro modo?

grazie

[dissonance]

Va bene. Naturalmente devi ancora dimostrare che il reciproco di una successione infinita è una successione infinitesima.

P.S.:Aspetta un attimo, non capisco cosa fai qui:

"Ranius":Dato che $AA k>0 EE n_0 | AA n > n_0, a^n > k rightarrow 1+n*d>k rightarrow n > (k-1)/d rightarrow n >(k-1)/(a-1)$
Di conseguenza è dimostrato.

Perché invece, più semplicemente, non parti da

"Ranius":
per un lemma del quale posso postare la dimostrazione ho che $a^n=(1+d^n)>= 1+n*d$

e poi dimostri che $1+d^n\to+infty$? Per confronto segue subito la tesi.

[Ranius1]

e se invece operassi in questo modo:

$AA \epsilon>0 EE n_0 | AA n > n_0, a^n < \epsilon$

posto $a = 1-d,d>0$
ho che:
$(1+(-d)^n)>= 1-nd < \epsilon -> n>(1-\epsilon)/(d)$

in tal modo posso ovviare alla dimostrazione che il reciproco di una successione infinita è una successione infinitesima o sbaglio?

[dissonance]

No, no. $a^2

Cita

Segnala

[Ranius1]

ho commesso due errori di battitura gravi sia nel primo post che nella mia risposta, ora li ho corretti.
Scusatemi.

p.s. possono andare alla luce delle correzioni apportate?

[dissonance]

Cito dal primo post:

"Ranius":Dato che $AA k>0 EE n_0 | AA n > n_0, a^n > k$ [...]

Ripeto che questo passaggio non lo capisco. Non è "dato" che $\forall k>0 \existsn_o\ "t.c."\ \foralln>n_0,\ a^n>k$. Questo è proprio quello che devi dimostrare.

[Ranius1]

hai ragione, era proprio quello il mio dubbio; ho capito che devo passare da un'altra strada.
ti ringrazio