Dimostrazione - Limiti e derivate
Buonasera di nuovo 
Torno a rompervi le scatole chiedendo aiuto per un altro esercizio:
Testo:
Dimostrare che, sia \(\displaystyle f \) derivabile in \(\displaystyle {\mathbb{R}}^+ \), se
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) + f'(x) = 0 \)
allora
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \)
Non ho proprio nessuna idea su come partire!
Sono solo riuscito a verificare che è vero per \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} \) ad esempio..
Torno a rompervi le scatole chiedendo aiuto per un altro esercizio:
Testo:
Dimostrare che, sia \(\displaystyle f \) derivabile in \(\displaystyle {\mathbb{R}}^+ \), se
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) + f'(x) = 0 \)
allora
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \)
Non ho proprio nessuna idea su come partire!
Sono solo riuscito a verificare che è vero per \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} \) ad esempio..
Risposte
La butto lì, senza grosse pretese: provato con Lagrange?
Vediamo.
Come intervallo potrei considerare \(\displaystyle [0, +\infty) \) visto che so solo che la funzione è derivabile in \(\displaystyle {\mathbb{R}}^+ \).
Quindi dovrei applicarlo così
\(\displaystyle \exists c \in (0, +\infty) : f'(c) = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \)
ma non vedo come proseguire.
Il problema è che non ho ancora la giusta padronanza di questi teoremi che si usano spessissimo..
Come intervallo potrei considerare \(\displaystyle [0, +\infty) \) visto che so solo che la funzione è derivabile in \(\displaystyle {\mathbb{R}}^+ \).
Quindi dovrei applicarlo così
\(\displaystyle \exists c \in (0, +\infty) : f'(c) = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \)
ma non vedo come proseguire.
Il problema è che non ho ancora la giusta padronanza di questi teoremi che si usano spessissimo..
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