Dimostrazione limite successione trigonometrica elementare:
Buon pomeriggio, voglio dimostrare $\lim_{n \to \infty}sin(a_n)=0$ se $an-->0$. Ora il mio libro di Analisi procede in tal modo: dato che $a_n$ converge a 0, per la definizione di limite esiste un indice v per cui $|a_n|<(pi)/2$ per ogni $n>v$. Perchè tutto ciò? non dovrei avere $|sin(a_n)-0|
Risposte
Per mostrare che \(\lim_n \sin a_n = 0\) quando \(\lim_n a_n=0\) devi far vedere che vale l'implicazione:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \mu \in \mathbb{N}:\ \forall n> \mu ,\ |a_n|<\varepsilon \quad \Rightarrow \quad \forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n> \nu ,\ |\sin a_n|<\varepsilon\; .
\]
Ora, per fare ciò si possono seguir diverse strade, a seconda di ciò che conosci.
La più elementare è la seguente, che si basa sulla disuguaglianza pseudo-geometrica:
\[
|\sin x|\leq |x|
\]
che ti dice che il valore assoluto del seno dell'arco \(x\) è sempre più piccolo della lunghezza dell'arco (prova a fare un disegnino!).
Da questa disuguaglianza segue che per ogni indice \(n\) si ha:
\[
|\sin a_n|\leq |a_n|\; ,
\]
dunque affinché risulti \(|\sin a_n|<\varepsilon\) basta che \(|a_n|<\varepsilon\). Fissato allora \(\varepsilon >0\), in corridpondenza del numero \(\mu\) determinato usando la definizione di limite per \(a_n\), si trova:
\[
\forall n>\mu ,\ |\sin a_n|\leq |a_n|<\varepsilon \; ;
\]
Pertanto, basta scegliere \(\nu =\mu\) per far fuzionare la definizione di limite per \(\sin a_n\); così \(\lim \sin a_n =0\).
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \mu \in \mathbb{N}:\ \forall n> \mu ,\ |a_n|<\varepsilon \quad \Rightarrow \quad \forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n> \nu ,\ |\sin a_n|<\varepsilon\; .
\]
Ora, per fare ciò si possono seguir diverse strade, a seconda di ciò che conosci.
La più elementare è la seguente, che si basa sulla disuguaglianza pseudo-geometrica:
\[
|\sin x|\leq |x|
\]
che ti dice che il valore assoluto del seno dell'arco \(x\) è sempre più piccolo della lunghezza dell'arco (prova a fare un disegnino!).
Da questa disuguaglianza segue che per ogni indice \(n\) si ha:
\[
|\sin a_n|\leq |a_n|\; ,
\]
dunque affinché risulti \(|\sin a_n|<\varepsilon\) basta che \(|a_n|<\varepsilon\). Fissato allora \(\varepsilon >0\), in corridpondenza del numero \(\mu\) determinato usando la definizione di limite per \(a_n\), si trova:
\[
\forall n>\mu ,\ |\sin a_n|\leq |a_n|<\varepsilon \; ;
\]
Pertanto, basta scegliere \(\nu =\mu\) per far fuzionare la definizione di limite per \(\sin a_n\); così \(\lim \sin a_n =0\).
Ma dopo aver scritto la disuguaglianza $|sin(a_n)|≤|a_n|$ non posso ricorrere direttamente al teorema del confronto? dato che $|a_n|-->0$ anche $|sin(a_n)| -->0$ ? scusate se sbaglio...
Anche quello va bene... Come ho detto, tutto dipende dalle tue conoscenze. 
Riprendendo la tua dimostrazione, non ho capito l'ultima frase: Pertanto, basta scegliere $ν=μ$ per far fuzionare la definizione di limite per $sina_n$; così $limsinan=0.$
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