Dimostrazione limite successione

[LittleHi]

Salve, qual è la dimostrazione di:
Se {an} tende ad a e {bn} tende a b per n -> \( \infty \) allora
\( \lim_{n\rightarrow \infty } an^{bn} = a ^b \) ?
Ringrazio in anticipo

[anto_zoolander]

Intanto bisogna supporre quantomeno che $(a_n)_(n inNN)$ sia ovunque positiva.

$lim_(n->+infty)a_n^(b_n)=lim_(n->+infty)e^(b_n*log(a_n))$

L’esponenziale è una funzione continua su tutto $RR$ pertanto posto $c_n=b_n *log(a_n)$ sappiamo che per il teorema ponte se una funzione è continua in un insieme allora per ogni successione di punti nell’insieme che ha per limite un punto dell’insieme si ha che

Se $c_n->l$ allora $f(c_n)->f(l)$

Quindi bisogna studiare la convergenza di $c_n=b_n*log(a_n)$
Applicando il teorema ponte al $log$ si ha che $a_n->a=>log(a_n)->log(a)$ e pertanto per il teorema sul prodotto dei limiti $c_n->b*log(a)$ e infine

$lim_(n->+infty)a_n^(b_n)=e^(blog(a))=a^b$

Chiaramente questo se $ane0$

[LittleHi]

TI ringrazio, capito tutto tranne l'entrata in scena del teorema Ponte, del quale non ne avevo mai sentito parlare prima d'ora. Per cui me lo studierò!