Dimostrazione limite notevole

[fabioz96]

Salve, l'altro giorno il professore ha spiegato un limite notevole saltando vari passaggi; a nulla è servito chiedergli di rispiegarlo.
Potete aiutarmi a dimostrarlo?
Eccolo qui:

$lim_(x->0)((1+x)^\theta-1)/x = \theta$

Dove $\theta$ è un numero qualunque conosciuto

Grazie

[*martiki*1]

Io questo limite lo risolverei con gli sviluppi in serie di Taylor. Sapendo che,
$ lim_(x->0) (1+x)^theta ~~ 1+thetax+(theta( theta-1))/2x^2+ (theta( theta-1)(theta-2))/6 x^3 + o(x^3) $

per gli sviluppi di taylor, arrestando lo sviluppo al secondo ordine, ovvero : $lim_(x->0) (1+x)^theta ~~ 1+thetax+(theta( theta-1))/2x^2 +o(x^2)$ e sostituendo nel limite viene:
$ lim_(x->0) f(x)= (1+thetax+ -1) /x = theta $

L'o piccolo sparisce

[fabioz96]

Purtroppo non conosco ancora la serie di Taylor

In ogni caso credo si debba usare un altro limite notevole:

$lim_(x->0)ln(1+x)/x=1$

[*martiki*1]

un'altra dimostrazione oppure è questa qua:



ci avrei messo troppo tempo a ricopiarla