Dimostrazione limite lim x -> c log (x)

[dvd881]

Ciao a tutti, scusate se chiedo cose ovvie ma in rete non ho trovato molto.
Attraverso la definizione di limite devo dimostrare che
lim x -> c log(x) = log(c)

Impostando la disugualianza
|log(x) - log(c)| < ε
non riesco ad ottenere l'intorno di c sperato
c + ε < x < c - ε

Come posso fare?

[gugo82]

Devi risolvere:
\[
|\log x-\log c|<\varepsilon\; ;
\]
giochicchiando un po' coi logaritmi e col valore assoluto, trovi che il problema è equivalente a:
\[
-\varepsilon <\log \frac{x}{c} <\varepsilon
\]
perciò:
\[
ce^{-\varepsilon} < x \]
e conseguentemente:
\[
c (e^{-\varepsilon} -1) < x-c < c(e^\varepsilon -1)\; .
\]
Posto \(\delta := \min \{ c\ |e^{-\varepsilon} -1|,c\ |e^\varepsilon -1|\}\), la precedente è certamente soddisfatta non appena \(|x-c|<\delta\).

[dvd881]

Grazie mille, ero bloccato al passaggio prima di quello in cui sommi -c nella disequazione.
Prendendo la distanza minima tra lo spazio a dx e a sx di x - c ottengo l'intorno cercato c - δ < x < c + δ.
Mi resta il dubbio: se invece di "-c" si sommasse un altra quantità (es. radice di c) è possibile che si ottengano intorni diversi da quello cercato?

[dvd881]

Mi rispondo da solo, in quel caso avrei dimostrato per lim x -> radice di c ...
proprio perché lim x -> c log(x) = log(c) vale con qualsiasi c > 0.
Grazie ancora.