Dimostrazione limite di successione; operazioni con limiti
Un saluto a tutto il forum!
Sto svolgendo un esercizio sulle operazioni coi limiti di successione in cui mi si chiede:
Verificare che se una successione $a_n$ converge ad un numero reale non nullo, allora: $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/(a_n)=1$
Presupposto che il limite del rapporto è uguale al rapporto dei limiti, qual'è la dimostrazione teorica per dire che $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))= lim_{n\to \infty}(a_n)
Grazie in anticipo.
Mario.
Sto svolgendo un esercizio sulle operazioni coi limiti di successione in cui mi si chiede:
Verificare che se una successione $a_n$ converge ad un numero reale non nullo, allora: $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/(a_n)=1$
Presupposto che il limite del rapporto è uguale al rapporto dei limiti, qual'è la dimostrazione teorica per dire che $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))= lim_{n\to \infty}(a_n)
Grazie in anticipo.
Mario.
Risposte
avevo letto male, cancello...
P.S. ma non c'è più l'opzione cancella sui propri messaggi??
P.S. ma non c'è più l'opzione cancella sui propri messaggi??
"spumone79":
Un saluto a tutto il forum!
qual è la dimostrazione teorica per dire che $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))= lim_{n\to \infty}(a_n)
La definizione di limite.
"blackbishop13":
questa cosa è falsa.
prendi ad esempio la successione che vale identicamente $1$
ovvero $a_n=1 AAn in NN$
ovviamente $lim_(n to infty)a_n=1$ e $lim_(n to infty) a_n+1=2$
Black $n+1$ è l'indice della successione...
Ciao!
"Rigel":
[quote="spumone79"]Un saluto a tutto il forum!
qual è la dimostrazione teorica per dire che $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))= lim_{n\to \infty}(a_n)
La definizione di limite.[/quote]
Con la definizione di limite sono riuscito a dimostrare un esercizio del tutto simile ma che invece mi chiedeva di dimostrare che se una successione $a_n$ è convergente, allora $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))- a_n=0$ (Ossia limite della differenza come differenza dei limiti)
Col rapporto mi sembra un po' più complesso...
Ciao!
Se non vuoi usare il teorema sul limite del rapporto, puoi ripercorrere la sua dimostrazione.
Supponiamo che $\lim_n a_n = L \in (0,+\infty)$ (se $L<0$ si ragiona in maniera analoga).
Per definizione di limite, per ogni $\epsilon \in (0,1)$ esiste $n_0 = n_0(\epsilon)\in NN$ tale che
$L(1-\epsilon) < a_n < L(1+\epsilon)$ per ogni $n\ge n_0$.
Avrai dunque che
$(1-\epsilon)/(1+\epsilon) < \frac{a_{n+1}}{a_n} < (1+\epsilon)/(1-\epsilon)$ per ogni $n\ge n_0$
e, con qualche passaggio, arrivi a
$|\frac{a_{n+1}}{a_n}-1| < \frac{2\epsilon}{1-\epsilon}$, per ogni $n\ge n_0$.
In particolare, per ogni $\epsilon\in (0, 1/2)$, avrai che
$|\frac{a_{n+1}}{a_n}-1| < 4\epsilon$, per ogni $n\ge n_0(\epsilon)$,
da cui la tesi.
Supponiamo che $\lim_n a_n = L \in (0,+\infty)$ (se $L<0$ si ragiona in maniera analoga).
Per definizione di limite, per ogni $\epsilon \in (0,1)$ esiste $n_0 = n_0(\epsilon)\in NN$ tale che
$L(1-\epsilon) < a_n < L(1+\epsilon)$ per ogni $n\ge n_0$.
Avrai dunque che
$(1-\epsilon)/(1+\epsilon) < \frac{a_{n+1}}{a_n} < (1+\epsilon)/(1-\epsilon)$ per ogni $n\ge n_0$
e, con qualche passaggio, arrivi a
$|\frac{a_{n+1}}{a_n}-1| < \frac{2\epsilon}{1-\epsilon}$, per ogni $n\ge n_0$.
In particolare, per ogni $\epsilon\in (0, 1/2)$, avrai che
$|\frac{a_{n+1}}{a_n}-1| < 4\epsilon$, per ogni $n\ge n_0(\epsilon)$,
da cui la tesi.
Grazie milleeee Rigel!!!
Tutto chiaro ora!
Ciao!
Tutto chiaro ora!
Ciao!
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