Dimostrazione limite di rapporto di successioni
Salve a tutti!
Vorrei dimostrare con la definizione di limite (preso un $\epsilon$ > 0 $EE$ $bar n in NN$ t.c. $AA$ n > $\bar n$ vale |$a_n$ - l| < $\epsilon$) una delle proprietà dei limiti di successioni cioè:
$lim_{n \to \infty}frac{a_n} {b_n} = frac {a} {b}
Ho già dimostrato il prodotto:
$lim_{n \to \infty} a_n * b_n$ = $a*b$ con $a,b in RR$
preso un $\epsilon$ > 0 $EE$ $bar n in NN$ t.c. $AA$ n > $\bar n$ vale |$a_n*b_n$ - $a*b$| < $\epsilon$
dopo vari passaggi e raccoglimenti a fattor comune l'ultima disuguaglianza cioè |$a_n*b_n$ - $a*b$| < $\epsilon$ è uguale a:
$|b_n - b|*|a_n - a| + |a|*|b_n - b| + |b|*|a_n - a| < \epsilon$
adesso ho minorato tutti i membri per un determinato epsilon...in particolare:
In corrispondenza di
$\epsilon$ / ($3*|a|$), $EE$ $bar n_1 in NN$ t.c. $AA n > bar n_1$ vale $|b_n - b|$ < $\epsilon$ / ($3*|a|$)
In corrispondenza di
$\epsilon$ / ($ 3*|b|$), $EE$ $bar n_2 in NN$ t.c. $AA n > bar n_2$ vale $|a_n - a|$ < $\epsilon$ / ($3*|b|$)
In corrispondenza di
$sqrt(\epsilon / 3) $, $EE$ $bar n_3, bar n_4 in NN$ t.c. $AA n > bar n_3,bar n_4$ vale $|b_n - b|$ < $sqrt(\epsilon / 3)$
e vale pure $|a_n - a|$ < $sqrt(\epsilon / 3)$
e quindi la loro somma fa $\epsilon$
Adesso non so come procedere in modo simile con il limite del rapporto...potete aiutarmi?
Grazie mille
Vorrei dimostrare con la definizione di limite (preso un $\epsilon$ > 0 $EE$ $bar n in NN$ t.c. $AA$ n > $\bar n$ vale |$a_n$ - l| < $\epsilon$) una delle proprietà dei limiti di successioni cioè:
$lim_{n \to \infty}frac{a_n} {b_n} = frac {a} {b}
Ho già dimostrato il prodotto:
$lim_{n \to \infty} a_n * b_n$ = $a*b$ con $a,b in RR$
preso un $\epsilon$ > 0 $EE$ $bar n in NN$ t.c. $AA$ n > $\bar n$ vale |$a_n*b_n$ - $a*b$| < $\epsilon$
dopo vari passaggi e raccoglimenti a fattor comune l'ultima disuguaglianza cioè |$a_n*b_n$ - $a*b$| < $\epsilon$ è uguale a:
$|b_n - b|*|a_n - a| + |a|*|b_n - b| + |b|*|a_n - a| < \epsilon$
adesso ho minorato tutti i membri per un determinato epsilon...in particolare:
In corrispondenza di
$\epsilon$ / ($3*|a|$), $EE$ $bar n_1 in NN$ t.c. $AA n > bar n_1$ vale $|b_n - b|$ < $\epsilon$ / ($3*|a|$)
In corrispondenza di
$\epsilon$ / ($ 3*|b|$), $EE$ $bar n_2 in NN$ t.c. $AA n > bar n_2$ vale $|a_n - a|$ < $\epsilon$ / ($3*|b|$)
In corrispondenza di
$sqrt(\epsilon / 3) $, $EE$ $bar n_3, bar n_4 in NN$ t.c. $AA n > bar n_3,bar n_4$ vale $|b_n - b|$ < $sqrt(\epsilon / 3)$
e vale pure $|a_n - a|$ < $sqrt(\epsilon / 3)$
e quindi la loro somma fa $\epsilon$
Adesso non so come procedere in modo simile con il limite del rapporto...potete aiutarmi?
Grazie mille
Risposte
Beh [tex]\frac{a_n}{b_n}=a_n\cdot \frac{1}{b_n}[/tex], quindi per sfruttare la regola sul prodotto basta dimostrare che [tex]\frac{1}{b_n} \to \frac{1}{b}[/tex]... Il che non mi pare proibitivo (basta verificare la definizione di limite).
pensa che quel rapporto tra successioni puoi vederlo come prodotto tra la successione $a_n$ e $c_n=1/b_n$.
Così ti riconduci al caso già dimostrato di un prodotto tra due successioni.
Così ti riconduci al caso già dimostrato di un prodotto tra due successioni.
oops ho scritto in contemporanea!
Beh ma con il prodotto io non ho frazioni e quindi i raccoglimenti a fattor comune e le minorazioni sono facili da eseguire...con il rapporto mi confondo un pò con le minorazioni...sarò un pò tonto 
Comincia a provare che se 1) [tex]b\neq 0,\pm \infty[/tex] e se 2) [tex]\forall n\in \mathbb{N},\; b_n\neq 0[/tex] allora:
[tex]b_n\to b \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{b_n} \to \frac{1}{b}[/tex]
ossia che vale la definizione di limite:
[tex]\forall \varepsilon >0,\; \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n\geq \nu ,\; |\frac{1}{b_n} - \frac{1}{b}|<\varepsilon[/tex] .
Comincia facendo il m.c.m. nel valore assoluto e tenendo presente che il valere di 1 e 2 implica l'esistenza di un [tex]M>0[/tex] tale che [tex]\forall n\in \mathbb{N}, \; |b_n|>M[/tex] (perchè?).
[tex]b_n\to b \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{b_n} \to \frac{1}{b}[/tex]
ossia che vale la definizione di limite:
[tex]\forall \varepsilon >0,\; \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n\geq \nu ,\; |\frac{1}{b_n} - \frac{1}{b}|<\varepsilon[/tex] .
Comincia facendo il m.c.m. nel valore assoluto e tenendo presente che il valere di 1 e 2 implica l'esistenza di un [tex]M>0[/tex] tale che [tex]\forall n\in \mathbb{N}, \; |b_n|>M[/tex] (perchè?).
ok ci proverò domani e vi faccio sapere....in ogni caso vi ringrazio
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