Dimostrazione limite di Eulero
Volevo capire la dimostrazione dietro il limite di Eulero ovvero $lim_(x->infty)(1+1/x)^x= e$, ma consultando diverse fonti ritrovo la stessa conclusione nelle dimostrazioni, ovvero una sucessione il cui limite è compreso tra 2 e 3. Ma di fatto il valore limite è più preciso $e=2,718281$. Come si dimostra che il limite vale proprio $e$ ?
Risposte
Perché è il contrario 
Hanno chiamato $e$ il valore di quel limite
Hanno chiamato $e$ il valore di quel limite
Quindi non c'è un calcolo che porti a quel risultato?
Dipende.
Per te cosa è $e$?
Per te cosa è $e$?
L'ho conosciuto come base del logaritmo naturale, ma poi ho scoperto che è anche il limite di quella sucessione. Ma da come mi state rispondendo sembra che siano due cose diverse come definizioni ma indicate con la stessa lettera.
Ma no ... qualcuno ha dimostrato che quel limite esiste finito ... però è irrazionale quindi non lo puoi rappresentare con un numero finito di cifre decimali quindi per comodità gli hanno dato il nome di $e$ (come il pi greco $pi$).
Sempre per comodità, viene usato come base per logaritmi (quelli con questa base vengono detti logaritmi naturali)
Sempre per comodità, viene usato come base per logaritmi (quelli con questa base vengono detti logaritmi naturali)
Ma quindi prima è stato trovato $e$ come limite e poi è stato attribuito al logaritmo ,e quel valore è convenzionale? Se no mi chiederei perchè non $2,6$ o $2,8$
Ci rinuncio ...
Ciao ZfreS,
Ovviamente non è una dimostrazione, ma prova a prendere la quantità $(1 + 1/x)^x $ e a calcolarla mediante una calcolatrice per $x = 10$, $x = 100$, $x = 1000 $, $x = 10000$, $x = 100000$ etc. e capirai subito perché non è $2,6 $ o $2,8 $; inoltre dovresti riuscire a notare che all'aumentare del valore assegnato a $x $ le prime cifre del numero rimangono sempre uguali ed invece poi cambiano quelle a distanza crescente dalla virgola...
Dai un'occhiata anche qui.
"ZfreS":
Se no mi chiederei perché non $2,6$ o $2,8 $
Ovviamente non è una dimostrazione, ma prova a prendere la quantità $(1 + 1/x)^x $ e a calcolarla mediante una calcolatrice per $x = 10$, $x = 100$, $x = 1000 $, $x = 10000$, $x = 100000$ etc. e capirai subito perché non è $2,6 $ o $2,8 $; inoltre dovresti riuscire a notare che all'aumentare del valore assegnato a $x $ le prime cifre del numero rimangono sempre uguali ed invece poi cambiano quelle a distanza crescente dalla virgola...
Dai un'occhiata anche qui.
"ZfreS":
L'ho conosciuto come base del logaritmo naturale […]
Sì, va bene.
Dunque la tua definizione è: “$e$ è la base del logaritmo naturale”… E che cos’è il “logaritmo naturale”? Com’è definito?
@ pilloeffe, si certo, questa prova l'ho fatta anche io, e funziona, ma come ben sappiamo in matematica bisogna dimostrare un qualcosa in generale, non possiamo fare affidamento a un po di prove. IL punto è che la classica dimostrazione si limita a dire che il limite è compreso tra 2 e 3, ma noi provando scopriamo che il limite è precisamente 2,718 volendoci fermare a tre cifre decimali. Quello che non capisco è perchè non si può dimostrare che il limite è proprio e.
@ gugo: certo, la base e del logaritmo deriva dalla funzione esponenziale $y = e^x$
@ gugo: certo, la base e del logaritmo deriva dalla funzione esponenziale $y = e^x$
"ZfreS":
si certo, questa prova l'ho fatta anche io, e funziona
Beh, allora sai già che il valore del limite non può essere 2,6 o 2,8 come hai affermato...
"ZfreS":
[...] ma noi provando scopriamo che il limite è precisamente 2,718 volendoci fermare a tre cifre decimali
Beh no, se non approssimandolo, altrimenti sarebbe razionale (2,718 = 2718/1000), mentre come ti ha già scritto Alex $e $ è un numero irrazionale e più precisamente trascendente, ossia non esiste un'equazione algebrica a coefficienti razionali che lo ammetta come soluzione. Questo è stato il primo numero che si è dimostrato essere trascendente senza essere stato costruito per essere collocato nell'insieme dei numeri reali non algebrici, come era accaduto in precedenza per la costante di Liouville. Una dimostrazione della irrazionalità di $e$ è stata data da Charles Hermite nel 1873. Mi sai che non hai letto abbastanza attentamente la risposta di Alex e non hai dato un'occhiata al link che ti ho postato. Fra l'altro per calcolare le cifre decimali di $e $ è consigliabile usare la sua rappresentazione in serie, che è decisamente più comoda per implementare al calcolatore un programmino che consenta di determinare un numeri di cifre decimali di $e $ sempre maggiore:
$e = \sum_{n = 0}^{+\infty} 1/(n!) $
Qui trovi un po' di storia sul numero di Nepero (o Eulero) $e$.
Come molti utenti hanno già ben spiegato, questo numero è irrazionale (e trascendente: non è soluzione di equazioni algebriche).
Il limite notevole a cui fai riferimento si dimostra essere finito e compreso tra due e tre. Ma come calcolare esattamente il valore del limite? In quanto non è possibile scrivere nel sistema decimale il risultato (perché ha infinite cifre, come del resto pi greco $\pi$) allora si è scelto di indicarlo con la lettera $e$.
Con un po' di pazienza, carta e penna poi si possono calcolare le prime cifre del valore di quel limite e sono infatti
$$2,71828728...$$
Ma non sono tutte.
Oggigiorno, tuttavia, anziché dedicarsi lodevolmente alla pratica di calcolo amanuense, si potrebbe giungere a risultati apprezzabilmente migliori con l'ausilio di un programma di calcolo al computer.
Come molti utenti hanno già ben spiegato, questo numero è irrazionale (e trascendente: non è soluzione di equazioni algebriche).
Il limite notevole a cui fai riferimento si dimostra essere finito e compreso tra due e tre. Ma come calcolare esattamente il valore del limite? In quanto non è possibile scrivere nel sistema decimale il risultato (perché ha infinite cifre, come del resto pi greco $\pi$) allora si è scelto di indicarlo con la lettera $e$.
Con un po' di pazienza, carta e penna poi si possono calcolare le prime cifre del valore di quel limite e sono infatti
$$2,71828728...$$
Ma non sono tutte.
Oggigiorno, tuttavia, anziché dedicarsi lodevolmente alla pratica di calcolo amanuense, si potrebbe giungere a risultati apprezzabilmente migliori con l'ausilio di un programma di calcolo al computer.
In pratica la "formula" per calcolarlo è quella postata da pilloeffe. Perfetto, ora ho capito, grazie mille a tutti!
"ZfreS":
Perfetto, ora ho capito, grazie mille a tutti!
Mmmmm…
"ZfreS":
@ gugo: certo, la base e del logaritmo deriva dalla funzione esponenziale $y = e^x$
Bene, e che cos’è quella funzione esponenziale?
In che senso?
Nel senso che stai dicendo niente. I termini del discorso vanno definiti. Cos'è \(e\)? Non è un capriccio quello di voler definire le cose.
"ZfreS":
In che senso?
Nel senso: definisci la funzione esponenziale $e^x$.
Finora abbiamo definito:
- [*:1acn0f7d] $e$ è la base di $ln x$;
[/*:m:1acn0f7d]
[*:1acn0f7d] $ln x$ è l’inversa dell’esponenziale $e^x$ (questa era implicita nella risposta che mi hai dato);[/*:m:1acn0f7d][/list:u:1acn0f7d]
quindi vediamo se è possibile definire la funzione esponenziale senza sapere chi è $e$, perché altrimenti la cosa diventa circolare e le definizioni circolari non sono ammesse in Matematica.
L'eponenziale è una funzione che ha per esponente un numero reale e per base un numero reale positivo. In quel caso la base è $e$.
Ok… Dunque, ricapitolando:
- [*:10mkvwdt] per definire $e$ ti serve definire il logaritmo naturale;
[/*:m:10mkvwdt]
[*:10mkvwdt] per definire il logaritmo naturale ti serve definire l’esponenziale neperiano;
[/*:m:10mkvwdt]
[*:10mkvwdt] per definire l’esponenziale neperiano ti serve definire $e$.[/*:m:10mkvwdt][/list:u:10mkvwdt]
Huston, we’ve had a problem.
Situazioni come queste fanno capire che molte volte la Matematica è insegnata/studiata come se non fosse ciò che è.
Siamo giunti ad una definzione circolare. Allora $e$ viene definito come quel limite, o meglio la serie con cui si calcola il suo valore.
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