Dimostrazione limite di $e$
Ho dei problemi con la dimostrazione del limite:
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \)
Praticamente prendo in riferimento la dimostrazione che si trova su wikipedia, questa partendo dall'identità
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}=\mathit{e}\)
Cerca di mostrare che il limite sopra è uguale alla sommatoria. Ecco ciò che fin'ora ho capito:
Si definisce una successione $s_n$ come:
\(\displaystyle s_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \)
E' per ipotesi converge ad $e$. Un'altra successione $t_n$ è definita come:
\(\displaystyle t_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)
E' vogliamo dimostrare che converge ad $e$. La dimostrazione utilizza il limite superiore ed il limite inferiore, quindi si parte applicando il teorema binomiale a $t_n$
\(\displaystyle t_n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{1}{n^k} \)
Questo ci mostra che:
\(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad t_n\leq s_n \)
Per questo motivo si ha anche
\(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} t_n\leq \limsup_{n \to \infty} s_n \)
Si utilizza il limite superiore e il limite inferiore perché non si sa ancora se $t_n$ converge. Poi dice che il secondo limite superiore è pari ad $e$, questa è la prima domanda: Questo fatto è vero perché si ha
\(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} s_n=\liminf_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty} s_n=\mathit{e}? \)
Quindi arriva alla disuguaglianza
\(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} t_n\leq \mathit{e} \)
Per quanto poi ho capito, cerca di dimostrare che vale anche la disuguaglianza inversa, quindi inizia fissando un $m$ tale che
\(\displaystyle 2\leq m\leq n \)
In tal caso si ha
\(\displaystyle t_m\leq t_n \)
Poi dice che se si fissa $m$ e si fa tendere $n$ all'infinito si ha
\(\displaystyle s_m\leq \liminf_{n \to \infty} t_n \)
Come fa ad arrivare a tale disuguaglianza?
Poi dice che $m$ si avvicina all'infinito (che non mi sembra essere per forza così, visto che è maggiore o uguale a $2$ puo' avere anche come valore $3$), per questo fatto però si ha la seguente disuguaglianza
\(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} t_n\leq \mathit{e}\leq\liminf_{n \to \infty} t_n\leq \limsup_{n \to \infty} t_n\)
Perché questo?
Da questo poi arriva alla tesi, in cui non ci sono problemi.
Spero di non chiedere troppo, vi sarei molto grato se mi aiutate con questa dimostrazione, tutti questi problemi credo che sono dovuti maggiormente al fatto che non ho studiato, e non ho capito, ancora bene le definizioni di limite superiore ed inferiore in quanto ho solo dato un'occhiata alla definizione perché vengono utilizzati nella dimostrazione. Buona giornata a tutti
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \)
Praticamente prendo in riferimento la dimostrazione che si trova su wikipedia, questa partendo dall'identità
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}=\mathit{e}\)
Cerca di mostrare che il limite sopra è uguale alla sommatoria. Ecco ciò che fin'ora ho capito:
Si definisce una successione $s_n$ come:
\(\displaystyle s_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \)
E' per ipotesi converge ad $e$. Un'altra successione $t_n$ è definita come:
\(\displaystyle t_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)
E' vogliamo dimostrare che converge ad $e$. La dimostrazione utilizza il limite superiore ed il limite inferiore, quindi si parte applicando il teorema binomiale a $t_n$
\(\displaystyle t_n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{1}{n^k} \)
Questo ci mostra che:
\(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad t_n\leq s_n \)
Per questo motivo si ha anche
\(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} t_n\leq \limsup_{n \to \infty} s_n \)
Si utilizza il limite superiore e il limite inferiore perché non si sa ancora se $t_n$ converge. Poi dice che il secondo limite superiore è pari ad $e$, questa è la prima domanda: Questo fatto è vero perché si ha
\(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} s_n=\liminf_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty} s_n=\mathit{e}? \)
Quindi arriva alla disuguaglianza
\(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} t_n\leq \mathit{e} \)
Per quanto poi ho capito, cerca di dimostrare che vale anche la disuguaglianza inversa, quindi inizia fissando un $m$ tale che
\(\displaystyle 2\leq m\leq n \)
In tal caso si ha
\(\displaystyle t_m\leq t_n \)
Poi dice che se si fissa $m$ e si fa tendere $n$ all'infinito si ha
\(\displaystyle s_m\leq \liminf_{n \to \infty} t_n \)
Come fa ad arrivare a tale disuguaglianza?
Poi dice che $m$ si avvicina all'infinito (che non mi sembra essere per forza così, visto che è maggiore o uguale a $2$ puo' avere anche come valore $3$), per questo fatto però si ha la seguente disuguaglianza
\(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} t_n\leq \mathit{e}\leq\liminf_{n \to \infty} t_n\leq \limsup_{n \to \infty} t_n\)
Perché questo?
Da questo poi arriva alla tesi, in cui non ci sono problemi.
Spero di non chiedere troppo, vi sarei molto grato se mi aiutate con questa dimostrazione, tutti questi problemi credo che sono dovuti maggiormente al fatto che non ho studiato, e non ho capito, ancora bene le definizioni di limite superiore ed inferiore in quanto ho solo dato un'occhiata alla definizione perché vengono utilizzati nella dimostrazione. Buona giornata a tutti
Risposte
"CaMpIoN":non capisco, se devi mostrare che la successione \( f: \Bbb{N} \to \Bbb{R}\), ove \( \forall n \in \Bbb{N}(f(n)=(1+\frac{1}{n})^n)\), è convergente ti basta applicare le proprietà delle successioni monotone, così facendo sai che esiste (unico) il limite di \(f\) e lo indichi con il simbolo \(e\). O magari vuoi dimostrare l'equivalenza tra la definizione di \(e\) come limite e la definizione di \(e \) come serie.. (CLIC a pg 62)?
Ho dei problemi con la dimostrazione del limite:
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \)
Esatto voglio dimostrare l'equivalenza tra le due rappresentazioni, guardo il link che mi hai dato, grazie per la risposta.
La dimostrazione del testo è interessante, ma mi serve quella che utilizza i limiti inferiore e superiore.
Sono arrivato a capire da solo gran parte dei passaggi, mi serve solo capire due cose:
Sapendo che
\(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_n\leq x_n \)
Sono valide entrambe le seguenti disuguaglianze?
\(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} a_n\leq \limsup_{n \to \infty} x_n\)
\(\displaystyle \liminf_{n \to \infty} a_n\leq \liminf_{n \to \infty} x_n\)
Sono arrivato a capire da solo gran parte dei passaggi, mi serve solo capire due cose:
Sapendo che
\(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_n\leq x_n \)
Sono valide entrambe le seguenti disuguaglianze?
\(\displaystyle \limsup_{n \to \infty} a_n\leq \limsup_{n \to \infty} x_n\)
\(\displaystyle \liminf_{n \to \infty} a_n\leq \liminf_{n \to \infty} x_n\)
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