Dimostrazione limite
Ciao a tutti,
mi aiutate a impostare un esercizio del genere.
Si considerino due funzioni $f,g : (0, \+infty) ->R$ strettamente positive e tali che limite di $f(x)/g(x)=L$ L un numero reale.
Dimostrare che se L>1, allora f(x)>g(x) in un intorno di piu infinito
Grazie
mi aiutate a impostare un esercizio del genere.
Si considerino due funzioni $f,g : (0, \+infty) ->R$ strettamente positive e tali che limite di $f(x)/g(x)=L$ L un numero reale.
Dimostrare che se L>1, allora f(x)>g(x) in un intorno di piu infinito
Grazie
Risposte
Scriviamo la definzione di limite:
\[ \forall \ \epsilon > 0, \ \exists \ \delta > 0 \ | \ \forall \ x_0 - \delta < x < x_0 + \delta \ , \ \left| \frac{f(x)}{g(x)} - L \right| \ < \epsilon \]
Ora prendi $ \epsilon = L - 1$ (puoi farlo, dal momento che definitivamente la distanza tra la funzione e il limite scende al di sotto di qualsiasi $\epsilon > 0$, e quindi anche di $L - 1$; è questo ciò che si intende con "in un intorno di più infinito"), e tieni a mente che le funzioni sono strettamente positive
\[ \forall \ \epsilon > 0, \ \exists \ \delta > 0 \ | \ \forall \ x_0 - \delta < x < x_0 + \delta \ , \ \left| \frac{f(x)}{g(x)} - L \right| \ < \epsilon \]
Ora prendi $ \epsilon = L - 1$ (puoi farlo, dal momento che definitivamente la distanza tra la funzione e il limite scende al di sotto di qualsiasi $\epsilon > 0$, e quindi anche di $L - 1$; è questo ciò che si intende con "in un intorno di più infinito"), e tieni a mente che le funzioni sono strettamente positive
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