Dimostrazione limite

[zerbo1000]

$lim_(n->oo)b^n= { ( oo\ \ \ \se\ b>1 ),( 0\ \ \ \se\ -1
dimostrazione se $b>1$

visto $b^n$ ricorsiva, $a_n=b^n=>a_(n+1)=ba_n$

visto $b>1$(per ipotesi) $=>a_(n+1)=ba_n>a_n=> a_n $ positiva cresciente$=> lim_(n->oo) a_n EE $ finito e maggiore di 1 (perche abbiamo imposto b>1) oppure infinito. quindi abbiamo capito che per b>1 quel limite la va o a infinito oppure è un numero finito maggiore di 1.

ora, supponiamo che sia un numero finito (non sappiamo se maggiore di uno o no), che chiamiamo x, e consideriamo le due successioni $a_(n+1)$ e $ba_(n)$, se facciamo i loro limiti abbiamo

$Lim_(n->oo) a_(n+1)=x $
$Lim_(n->oo) ba_n=bx$

dato che $a_(n+1)=ba_n$ dev essere $x=bx$ possibile solo se $x=0$ o $b=1$

nessuna delle due ipotesi è possibile perchè come abbiamo visto prima se il limite è finito dev' essere maggiore di uno, quindi non può che essere infinito.


E fin qui ok, il caso $b>1$ l'ho capito.

Poi il libro dice di dimostrare da soli i casi se $0
il primo caso $0
e nel secondo caso $-1
potete darmi una mano con il caso $0 perchè riesco a dimostrare che è decrescente ma non so come dimostrare che il limite è compreso tra 0 e 1 e che non può che essere zero.

thanks!!

ps: so che potrei semplicemente dimostrare $|b|<1$ (facendo $|b|<1=> (1/|b|)>1 $ 1/infinito=0 e finita li ) e avrei risolto tutte e due i casi in un colpo solo, solo che nel libro quelle nozioni (di divisone per infinito nei limiti) vengono dopo, quindi vuol dire che secondo il libro, (e quindi la profe all esame) io devo sapere fare anche nell'altro modo.

Thanks again!
peace

[MementoMori2]

Non si capisce niente

[zerbo1000]

si scusa ho mandato invio ma non avevo ancora finito il messaggio!!

[MementoMori2]

Applichi lo stesso ragionamento, ovvero:

$ a_(n+1)=ba_n $ , sai che $ b^n $ è una successione convergente infatti per 0
Supposto che tale limite sia x allora $ a_(n)=x $ $ a_(n+1)=xb $, x deve quindi verificare la relazione $ x= bx $

Essendo 0
Quindi la successione converge a 0

[zerbo1000]

ma se cosi fosse non dovrebbe essere $0<=b<1$? sul libro è scritto chiaramente $0 credi che sia un errore di battitutra? perchè è scritto il caso $0

Cita

Segnala

[MementoMori2]

se $ b=0 $ la successione sarà sempre uguale a 0 dato che $ b^n=0$ per $ n->oo" $, puoi inserirlo sia nell'intervallo positivo e in quello negativo ma la sua dimostrazione è banale. Infatti come hai riportato all'inizio :

$ lim_(n->oo)b^n= { ( oo\ \ \ \se\ b>1 ),( 0\ \ \ \se\ -1
Lo zero è incluso nel secondo caso

[zerbo1000]

una cosa però mi è ancora oscura, nella prima dimostrazione da me fatta, che credevo mi fosse chiara ma pensandoci meglio non me lo è, al passo in cui dico: " il limite se esiste esiste finito e maggiore di uno o infinito" , come facciamo a essere sicuri che il limite se è finito è maggiore di uno? cosa c'è lo assicura?

[MementoMori2]

Perchè quello è il primo caso in cui b>1 allora $ a_n=b^n$ è crescente e il valore minimo è $a_0=1$

[zerbo1000]

è perchè il limite non può essere $a_0$?

e poi una altra cosa, il fatto che una successione verifichi la ricorsività implica che il limite di $a_n=$ al limiti di $a_(n+1)$?

[MementoMori2]

Perchè il limite non può essere $ a_0 $ ? Cosa vuol dire ? $ a_0 =1 $
La successione verifica una relazione ricorsiva, ovvero il termine successivo può essere scritto tramite alcuni termini precedenti (come la successione di fibonacci), i limiti devono quindi coincidere (se sono finiti) dato che sono la medesima successione, solo che $ a_(n+1) =ba_n $ è un passo in avanti rispetto $ a_n =b^n $

[zerbo1000]

abbiamo detto che il limite se esiste è maggiore di uno perchè uno è il termine a_0.... quindi il limite non può essere il termine a_0, non capisco perchè

[MementoMori2]

Scrivi in maniera sensata, senza ripetizioni e soffermandoti a pensare a cosa stai chiedendo, almeno riesco a capire

[zerbo1000]

fatto

[MementoMori2]

Allora nella successione $ a_n= b^n $ quando $ b>1 $ la funzione è crescente, quindi il limite esiste, finito e maggiore di 1 o infinito!. Se fosse finito sarebbe maggiore di 1 semplicemente perchè essendo una funzione CRESCENTE e dovendo noi calcolare il limite per $n-> +oo $ è impossibile che essa assuma come tale limite il suo valore minimo

[zerbo1000]

è possibile dimostrare che è impossibile che il limite assuma il valore minimo usando la definizione, cioè perchè la definizione dice per ogni $n>n_0 EE n | |l-epsilon|
so che è una cosa ovvia, però forse la dimostrazione matematica me la chiedono all orale