Dimostrazione Lemma sulla crescenza di una successione

[giupar93]

Buongiorno a tutti ragazzi, ho un dubbio sulla dimostrazione del seguente lemma:

Se $(n_k)_k$ è crescente, allora $n_k>=k$

Dim.

Se $k=1$ la tesi è vera

Supponiamo Tesi vera per $h in N : h>=1 -> n_h>=h$

Proviamo che $n_h+1>=h+1$

$n_h+1>n_h>=h -> n_h+1>h$, dato che $n_h+1 in N -> n_h>=h$

Questa è la dimostrazione che la mia professoressa ha dato. Il mio unico dubbio è da attribuirsi a quel
"dato che $n_h+1 in N -> n_h>=h$".

Perché fa questa asserzione?

Vi ringrazio anticipatamente, e spero di essere stato abbastanza chiaro.

Buona giornata

[Gi81]

Immagino che l'enunciato del lemma sia una cosa di queto tipo:
Sia $(n_k)_{k in NN}$ una successione a valori in $NN$ strettamente crescente. Allora $n_k >= k $ per ogni $k in NN$.
Sbaglio?

[giupar93]

no non sbagli

[Gi81]

In generale, dato che la successione è strettamente crescente, si ha $n_{k+1}>= n_k +1$ per ogni $k in NN$
(perché, se $a, b in NN$, la relazione $a >b$ è equivalente a $a>= b+1$).

Se $n_h >=h$, allora $n_{h+1}>= n_h +1 >= h+1$, cioè $n_{h+1}>= h+1$.


Venendo al tuo dubbio, secondo me c'è qualcosa che non torna:
non ha senso dire "dato che $n_(h+1) in NN => n_h>=h$".

Secondo me la prof. intendeva qualcosa del tipo " dato che $n_(h+1) in NN$ e $n_h>=h$".

[giupar93]

Mi stai dicendo, dato che $ n_{h+1}>= h+1 $ e dato che $ n_(h+1) in NN $ e $ n_h>=h $, posso concludere che $ n_h >=h+1 $ ho capito bene?

[Gi81]

No. Nel nostro passo induttivo
l'ipotesi è $n_h>=h$, mentre la tesi (cioè quello che dobbiamo dimostrare) è $n_{h+1}>=h+1$.

[giupar93]

okay, ma procedendo per induzione arriviamo a dire che $ n_{h+1}>=h $. Io non riesco a capire come procedere adesso, per far si che si dimostri che $ n_{h+1}>=h+1 $

[Gi81]

L'ho scritto prima