Dimostrazione inversa teorema ponte

[Sk_Anonymous]

Allora, sto studiando la dimostrazione inversa del teorema ponte (2->1), solo che non riesco a capire alcune cose. Ho letto una dimostrazione postata da Gugo qui sul forum, però continua ad essermi non chiaro. Pertanto, vi sarei grato se qualcuno potesse dirmi a parole qual è il filo logico della seconda parte della dimostrazione. La prima parte, cioè, dando per vero che $f(x)$ tende a $l$, dimostrare che $f(x_n)$ tende anch'essa a $l$, mi è non chiara, ma chiarissima. Mi perdo invece nella seconda parte. Grazie mille
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 22574.html

[gugo82]

Beh, è una dimostrazione per assurdo.

Vuoi far vedere che [tex]$\forall x_n\to c,\ \lim_n f(x_n)=l$[/tex] implica [tex]$\lim_{x\to c} f(x)=l$[/tex]; per assurdo, supponi che la tesi non sia vera: in tale ipotesi riesci a determinare una successione [tex]$(x_n)$[/tex] tale che [tex]$x_n\to c$[/tex] ma [tex]$f(x_n)\not\to l$[/tex], il che è palesemente in contrasto con l'ipotesi.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Beh, è una dimostrazione per assurdo.

Vuoi far vedere che [tex]$\forall x_n\to c,\ \lim_n f(x_n)=l$[/tex] implica [tex]$\lim_{x\to c} f(x)=l$[/tex]; per assurdo, supponi che la tesi non sia vera: in tale ipotesi riesci a determinare una successione [tex]$(x_n)$[/tex] tale che [tex]$x_n\to c$[/tex] ma [tex]$f(x_n)\not\to l$[/tex], il che è palesemente in contrasto con l'ipotesi.

queste tue due righe mi sono state d'aiuto, grazie

[Sk_Anonymous]

Allora, quello che ho davanti dice: supponiamo per assurdo che $f(x)$ non tende a $l$, il che significa negare la definizione di limite, vale a dire che esiste un intorno di $l$ tale che, qualunque sia l'intorno di $x_0$, esiste almeno una $x$ contenuta in tale intorno la cui ordinata non appartiene all'intorno di $l$. Quindi, come tu giustamente dici, se riesco a dimostrare che esiste una successione tale che $x_n$ tende a $x_0$, ma $f(x_n)$ non tende a $l$, violo le ipotesi e quindi non posso che concludere il contrario. Fin qui ci sono. Il problema viene dopo. Io c'ho scritto che per "creare" questa successione di ascisse considero un intorno di $x_0$ del tipo $(x_0-1/n, x_0+1/n)$; in questo modo, se $n$ tende a più infinito, gli intorni si stringono sempre di più costringendo un generico $x_n$ a tendere a $x_0$. Ho quindi creato una successione $x_n$ che tende a $x_0$. Questo mi è chiaro. Quello che non ho capito è come faccio, ora, a concludere che $f(x_n)$ non tende a $l$ e che quindi quello che ho negato è falso. Grazie di nuovo.


EDIT: allora, dovrei aver capito...siccome, come dicevo sopra, prima o poi $x_n$ cadrà nell'intorno di $x_0$, allora esisterà sicuramente almeno una $f(x_n)$ che non è nell'intorno di $l$ (poichè l'ho detto quando ho negato per assurdo). Ma ciò che ho dedotto è in contrasto con l'ipotesi che $f(x_n)$ deve tendere ad $l$, cioè che esiste almeno un $f(x_n)$ che sta nell'intorno di $l$, quindi è un assurdo. E' giusto?

[gugo82]

La negazione della definizione di limite ti dice che:

[tex]$\exists \overline{\varepsilon} >0:\ \forall \delta >0,\ \exists x \in ]x_0-\delta ,x_0+\delta[ :\ |f(x)-l|\geq \overline{\varepsilon}$[/tex];

in particolare puoi prendere [tex]$\delta =\tfrac{1}{n}$[/tex], ed allora la precedente ti assicura che:

[tex]$\exists \overline{\varepsilon} >0:\ \forall n\in \mathbb{N},\ \exists x_n \in ]x_0-\tfrac{1}{n} ,x_0+\tfrac{1}{n} [ :\ |f(x_n)-l|\geq \overline{\varepsilon}$[/tex];

ma allora [tex]$|f(x_n)-l|\not\to 0$[/tex] (perchè la successione [tex]$|f(x_n)-l|$[/tex] è inferiormente limitata da [tex]$\overline{\varepsilon} >0$[/tex]), ossia [tex]$f(x_n)\not\to l$[/tex].

[Sk_Anonymous]

"gugo82":La negazione della definizione di limite ti dice che:

[tex]$\exists \overline{\varepsilon} >0:\ \forall \delta >0,\ \exists x \in ]x_0-\delta ,x_0+\delta[ :\ |f(x)-l|\geq \overline{\varepsilon}$[/tex];

in particolare puoi prendere [tex]$\delta =\tfrac{1}{n}$[/tex], ed allora la precedente ti assicura che:

[tex]$\exists \overline{\varepsilon} >0:\ \forall n\in \mathbb{N},\ \exists x_n \in ]x_0-\tfrac{1}{n} ,x_0+\tfrac{1}{n} [ :\ |f(x_n)-l|\geq \overline{\varepsilon}$[/tex];

ma allora [tex]$|f(x_n)-l|\not\to 0$[/tex] (perchè la successione [tex]$|f(x_n)-l|$[/tex] è inferiormente limitata da [tex]$\overline{\varepsilon} >0$[/tex]), ossia [tex]$f(x_n)\not\to l$[/tex].

è quello che ho detto nel post precedente in formule, giusto?

[gugo82]

In realtà nessun [tex]$f(x_n)$[/tex] cade nell'intorno di [tex]$l$[/tex] di raggio [tex]$\overline{\varepsilon}$[/tex]; per il resto, sì.