Dimostrazione integrali impropri "notevoli"

[Sk_Anonymous]

Ciao, qualcuno può dirmi come dimostrare la convergenza-divergenza di:
1) $ int_(0)^(1/2) $ $dx/(x^a|log(x)|^b)$;
2) $ int_(1/2)^(+oo) $ $dx/((x^a(logx))^b$?
Insomma, dovrei vedere per quali valori di $a$ e $b$ questi integrali convergono.
Grazie mille

[Sk_Anonymous]

"Soscia":Ciao, qualcuno può dirmi come dimostrare la convergenza-divergenza di:
1) $ int_(0)^(1/2) $ $dx/(x^a|log(x)|^b)$;
2) $ int_(1/2)^(+oo) $ $dx/((x^a(logx)^b)$?
Insomma, dovrei vedere per quali valori di $a$ e $b$ questi integrali convergono.
Grazie mille

Ciao, qualcuno ha dei suggerimenti?

[gugo82]

Prova ad integrare per parti, magari mettendo il logaritmo e qualche potenza di [tex]$x$[/tex] nel fattore differenziale.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Prova ad integrare per parti, magari mettendo il logaritmo e qualche potenza di [tex]$x$[/tex] nel fattore differenziale.

Ok, però come faccio ad integrare per parti se non so i valori di $a$ e $b$?
Il primo integrale lo posso riscrivere così, togliendo il valore assoluto: $ -int_(0)^(1/2) $ $dx/((x^a)(log(x))^b)$
Però poi che faccio?

[gugo82]

Sicuro di poterlo riscrivere così?

Io non credo...

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Sicuro di poterlo riscrivere così?

Io non credo...

il logaritmo per x compreso fra 0 è 1/2 è negativo....

[gugo82]

Sì, ma mica puoi portare un [tex]$-$[/tex] fuori dalla potenza d'esponente reale [tex]$y^b$[/tex]... Insomma, [tex]$-y^b \neq (-y)^b$[/tex] in generale.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Sì, ma mica puoi portare un [tex]$-$[/tex] fuori dalla potenza d'esponente reale [tex]$y^b$[/tex]... Insomma, [tex]$-y^b \neq (-y)^b$[/tex] in generale.

Si, hai ragione, quell'integrale si può riscrivere così: $ int_(0)^(1/2) $ $dx/((x^a)(-log(x))^b)$
E ora?

[gugo82]

E ora [tex]$-\ln x =\ln \tfrac{1}{x}$[/tex].
E poi forse conviene porre [tex]$t=\tfrac{1}{x}$[/tex]... Un po' di fantasia!

[Sk_Anonymous]

"gugo82":E ora [tex]$-\ln x =\ln \tfrac{1}{x}$[/tex].
E poi forse conviene porre [tex]$t=\tfrac{1}{x}$[/tex]... Un po' di fantasia!

si, hai ragione...però dopo 5 mesi di analisi inizio un pò a stufarmi

[Sk_Anonymous]

Allora, l'integrale diventa:
$ int_(0)^(1/2) $ $dx/((x^a)(log(1/x))^b)$ $=$ $int_(+oo)^(2)$ $-dt/(t^2(1/t)^a(logt)^b)$ $=$ $int_(2)^(+oo)$ $dt/(t^(2-a)(logt)^b)$, giusto?

[gugo82]

Io scriverei [tex]$t^{2-a}$[/tex] al denominatore, per comodità... Comunque sì.

Ora non ci vuole granché a studiarlo.
In particolare, se [tex]$2-a>1$[/tex], la cosa è immediata; se [tex]$2-a<1$[/tex] pure; se invece [tex]$2-a=1$[/tex] che succede?

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Io scriverei [tex]$t^{2-a}$[/tex]se invece [tex]$2-a=1$[/tex] che succede?

Andrebbe calcolato, applicando poi la definizione?

[gugo82]

Certo.
Se [tex]$2-a=1$[/tex] l'integrale può essere calcolato esplicitamente per ogni [tex]$b$[/tex], quindi basta distinguere opportunamente i casi.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Certo.
Se [tex]$2-a=1$[/tex] l'integrale può essere calcolato esplicitamente per ogni [tex]$b$[/tex], quindi basta distinguere opportunamente i casi.

Aspetta: se $2-a=1$, allora quello che devo calcolare è: $lim t->+oo$ $int_(2)^(t)$ $dt/(t(logt)^b)$. Quindi calcolo l'integrale (per parti) ed applico la definizione giusto? Grazie

[gugo82]

Quell'integrale è immediato... Guarda bene.

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Quell'integrale è immediato... Guarda bene.

se fosse stato semplicemente $int$ $1/(t*logt)$, allora la primitiva sarebbe stata semplicemente $log|logt|$, però c'è quella $b$ che mi fa venire qualche dubbio...

[gugo82]

Se [tex]$b=1$[/tex], allora la tua è la primitiva giusta; ma se [tex]$b\neq 1$[/tex], la primitiva di [tex]$f^\prime (t) f^{-b}(t)$[/tex] non la sai individuare lo stesso "ad occhio"?

[Sk_Anonymous]

Allora, ricapitolando un attimo, l'integrale converge se $a<1$, diverge se $a>1$, qualunque sia $b$, vero? per quanto riguarda il caso $2-a=1$, se $b=1$, l'integrale diverge, mentre se $b$ diverso da 1 converge se $b<1$, altrimenti, se $b>1$ diverge.

[Sk_Anonymous]

Ciao, qualcuno può confermare che il risultato è giusto?