Dimostrazione - Integrale generale dell'omogenea

[Stiletto]

Buongiorno a tutti. Sono alle prese con lo studio delle equazioni differenziali e, in particolare, sto avendo qualche problema con la dimostrazione del Teorema dell'Integrale generale dell'omogenea. Il tutto si riassume nel dover verificare che se $V_0$ è l'integrale generale di una equazione di ordine k, omogenea, scritta come $Ly(t)=0$, allora:

1.$V_0$ è un sottospazio vettoriale di V (integrale generale dell'equazione completa $Ly(t)=\varphi(t)$)
2.$V_0$ ha dimensione finita e questa vale proprio k, come l'ordine dell'equazione.

Dimostrazione 1:

Sul primo punto, non ci sono dubbi. In fondo:

$V_0= {u in V: Lu=0}$

E poiché questa è la definizione del KerL, nucleo dell'applicazione lineare scelta per definire l'equazione, allora si ha la certezza della tesi.

Dimostrazione 2:

Si costruiscono, a partire dall'equazione $Ly(t)=0$, k Problemi di Cauchy (come l'ordine dell'equazione):

$\{(Ly(t)=0),(y(t_0)=1),(y^(1)(t_0)=0),(...),(y^(k-1)(t_0)=0):}$, $\{(Ly(t)=0),(y(t_0)=0),(y^(1)(t_0)=1),(...),(y^(k-1)(t_0)=0):}$, ..., $\{(Ly(t)=0),(y(t_0)=0),(y^(1)(t_0)=0),(...),(y^(k-1)(t_0)=1):}$

Le cui soluzioni, che esistono e sono uniche, sono rispettivamente $u_1,u_2,...,u_k$. Si vuole quindi dimostrare che le le singole soluzioni di tali problemi, sono linearmente indipendenti (e poi, in seguito, generatori per $V_0$). Per la lineare indipendenza si vorrebbe ottenere:

$u(t)=\sum_{i=1}^k c_i u_i(t)$

aspettandosi che la sommatoria si annulli (e quindi anche $u(t)$) per $c_1=c_2=...=c_k=0$, per ogni t.

E qui viene il problema. Perché per dimostrare quanto appena accennato il testo liquida tutto con le seguenti 'cause':

a. tutte le derivate di u sono nulle;
b. $u^i(t_0)=c_(i+1)$ con $i in {0,1,..., k-1}$

Ora, il perché sia vera la b dovrei averlo capito. Infatti, in $t_0$, risulta che le derivate i-esime di u(t) si possono scrivere come:

$u(t_0)=c_1u_1(t_0)+c_2u_2(t_0)+...+c_ku_k(t_0)$
$u^1(t_0)=c_1 u_1^1(t_0)+c_2 u_2^1(t_0)+...+c_k u_k^1(t_0)$
...
$u^(k-1)(t_0)=c_1 u_1^(k-1)(t_0)+c_2 u_2^(k-1)(t_0)+...+c_k u_k^(k-1)(t_0)$

da cui, valendo i k P.d.C., per sostituzione delle condizioni, risulta:

$u(t_0)=c_1u_1(t_0)=c_1$
$u^1(t_0)=c_2 u_2^1(t_0)=c_2$
...
$u^(k-1)(t_0)=c_k u_k^(k-1)(t_0)=c_k$

e, indicizzando con i che varia da 1 a k, si ottiene la tesi.

Purtroppo invece, non riesco proprio a capire perché, quale che sia t, tutte le derivate di u siano nulle? Vale a dire il punto a.

[ciampax]

Per dimostrare l'indipendenza lineare devi considerare la combinazione "nulla" $u(t)=\sum_{i=1}^k c_i u_i(t)=0$ e dimostrare che le $c_i=0$ per ogni $i$. Per cui è ovvio che $u^{(j)}(t)=0$, non ti pare?