Dimostrazione integrale funzioni semplici
Salve a tutti!
Dovrei dimostrare che
\[\mathscr{I}(\mathscr{S})=\mathbb{R}\]
dove \(\mathscr{S}\) è lo spazio delle funzioni semplici e \(\mathscr{I}\) è l'applicazione integrale.
Dunque, le funzioni semplici mi sono state definite come tutte le funzioni che si possono esprimere come combinazione lineare di funzioni caratteristiche.
\[\varphi (x) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \mathbb{1}_{I_i}(x)\]
Nella precedente espressione, si indica con \(\lambda_i\) opportune costanti e con \(\mathbb{1}_{I_i}(x)\) la funzione caratteristica dell'intervallo \(I_i\), ovvero
\[\mathbb{1}_{I_i}(x)=\begin{cases} 1 & \text{se } x \in I_i \\ 0 & \text{altrimenti}\end{cases}\]
L'integrale associato ad una funzione caratteristica mi è stato definito come
\[\mathscr{I}(\varphi) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \text{mis}(I_i)\]
dove \(\text{mis}(I_i)\) è la misura dell'intervallo \(I_i\).
In particolare, se l'intervallo è \(I=[a,b)\) la sua misura è \(\text{mis}(I)=b-a\).
Non ho ben chiara la richiesta del problema.
Dovrei far vedere che l'immagine dell'applicazione integrale è l'insieme dei reali?
In tal caso, per arrivare alla tesi del problema, non basterebbe dire che l'integrale di una funzione semplice è una costante in quanto è definito come la somma di costanti?
Però secondo questo ragionamento mi sorge un dubbio: non mi è stato specificato niente sulle costanti \(\lambda_i\), quindi potrebbero essere anche complesse. In questo caso mi verrebbe da dire che l'integrale risulterebbe essere una costante complessa.
Dovrei dimostrare che
\[\mathscr{I}(\mathscr{S})=\mathbb{R}\]
dove \(\mathscr{S}\) è lo spazio delle funzioni semplici e \(\mathscr{I}\) è l'applicazione integrale.
Dunque, le funzioni semplici mi sono state definite come tutte le funzioni che si possono esprimere come combinazione lineare di funzioni caratteristiche.
\[\varphi (x) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \mathbb{1}_{I_i}(x)\]
Nella precedente espressione, si indica con \(\lambda_i\) opportune costanti e con \(\mathbb{1}_{I_i}(x)\) la funzione caratteristica dell'intervallo \(I_i\), ovvero
\[\mathbb{1}_{I_i}(x)=\begin{cases} 1 & \text{se } x \in I_i \\ 0 & \text{altrimenti}\end{cases}\]
L'integrale associato ad una funzione caratteristica mi è stato definito come
\[\mathscr{I}(\varphi) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \text{mis}(I_i)\]
dove \(\text{mis}(I_i)\) è la misura dell'intervallo \(I_i\).
In particolare, se l'intervallo è \(I=[a,b)\) la sua misura è \(\text{mis}(I)=b-a\).
Non ho ben chiara la richiesta del problema.
Dovrei far vedere che l'immagine dell'applicazione integrale è l'insieme dei reali?
In tal caso, per arrivare alla tesi del problema, non basterebbe dire che l'integrale di una funzione semplice è una costante in quanto è definito come la somma di costanti?
Però secondo questo ragionamento mi sorge un dubbio: non mi è stato specificato niente sulle costanti \(\lambda_i\), quindi potrebbero essere anche complesse. In questo caso mi verrebbe da dire che l'integrale risulterebbe essere una costante complessa.
Risposte
Perdonatemi per l'up, non sono ancora riuscito a convincermi sulla risposta...
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