Dimostrazione integrabilità di f
$ 1/(x^2-1) $ è integrabile in $ [0,b] AA b>0 $
Mi aiutate a dimostrare che è falsa?
Senza che calcolo l'integrale improprio si potrebbe dire che nel punto x=1 la funzione tende ad infinito è di conseguenza non è possibile integrarla perchè la somma integrale inferiore o superiore risulterebbe infinita ..?
per somma integrale intendo l'area al di sotto della funzione..
la definizione di integrabilità dice che f è integrabile in[a,b] se il limite delle somme integrali superiore e inferiore coincide ed è finito..
Mi aiutate a dimostrare che è falsa?
Senza che calcolo l'integrale improprio si potrebbe dire che nel punto x=1 la funzione tende ad infinito è di conseguenza non è possibile integrarla perchè la somma integrale inferiore o superiore risulterebbe infinita ..?
per somma integrale intendo l'area al di sotto della funzione..
la definizione di integrabilità dice che f è integrabile in[a,b] se il limite delle somme integrali superiore e inferiore coincide ed è finito..
Risposte
Ciao.
Secondo me basta notare, tanto per cercare un controesempio, che per $b=1$ l'integrale della funzione dovrebbe divergere.
Saluti.
Secondo me basta notare, tanto per cercare un controesempio, che per $b=1$ l'integrale della funzione dovrebbe divergere.
Saluti.
"gennarosdc":
la definizione di integrabilità dice che f è integrabile in[a,b] se il limite delle somme integrali superiore e inferiore coincide ed è finito..
Secondo Riemann però...
Allora tu vuoi sapere se è integrabile secondo Riemann in senso generalizzato su $[0,b]$, ciò accade se esiste finito il limite sia di $\lim_{a \rightarrow 1^-} \int_{0}^{a} 1/(x^2-1)dx$ che di $\lim_{a \rightarrow 1^+} \int_{a}^{b} 1/(x^2-1)dx$
Ci sono dei criteri come il confronto asintotico che qua serve proprio per far vedere che diverge...
"dan95":
[quote="gennarosdc"]
la definizione di integrabilità dice che f è integrabile in[a,b] se il limite delle somme integrali superiore e inferiore coincide ed è finito..
Secondo Riemann però...
Allora tu vuoi sapere se è integrabile secondo Riemann in senso generalizzato su $[0,b]$, ciò accade se esiste finito il limite sia di $\lim_{a \rightarrow 1^-} \int_{0}^{a} 1/(x^2-1)dx$ che di $\lim_{a \rightarrow 1^+} \int_{a}^{b} 1/(x^2-1)dx$
Ci sono dei criteri come il confronto asintotico che qua serve proprio per far vedere che diverge...[/quote]
si ho sbagliato nel citare solo la definizione secondo Riemann
In senso generalizzato i limiti che hai definito dovrebbero convergere allo stesso valore giusto?
"dan95":
[quote="gennarosdc"]
la definizione di integrabilità dice che f è integrabile in[a,b] se il limite delle somme integrali superiore e inferiore coincide ed è finito..
Secondo Riemann però...
Allora tu vuoi sapere se è integrabile secondo Riemann in senso generalizzato su $[0,b]$, ciò accade se esiste finito il limite sia di $\lim_{a \rightarrow 1^-} \int_{0}^{a} 1/(x^2-1)dx$ che di $\lim_{a \rightarrow 1^+} \int_{a}^{b} 1/(x^2-1)dx$
Ci sono dei criteri come il confronto asintotico che qua serve proprio per far vedere che diverge...[/quote]
Domando scusa per l'intromissione.
"gennarosdc":
$ 1/(x^2-1) $ è integrabile in $ [0,b] AA b>0 $
Mi aiutate a dimostrare che è falsa?
Era richiesto di dimostrare la falsità della proprietà, quindi bastava fornire un controesempio (oppure sbaglio io...?).
Saluti.
@alessandro8:
si mi trovo con quello che dici tu cioè che l'integrale diverge per b=1 ma come lo spieghi?
si potrebbe dire che in quel punto la funzione ha un asintoto verticale e quindi è impossibile trovare la somma integrale sottostante? ( in questo caso stiamo parlando di integrale definito tra 0 e 1 )
si mi trovo con quello che dici tu cioè che l'integrale diverge per b=1 ma come lo spieghi?
si potrebbe dire che in quel punto la funzione ha un asintoto verticale e quindi è impossibile trovare la somma integrale sottostante? ( in questo caso stiamo parlando di integrale definito tra 0 e 1 )
@Alessandro
Si infatti mi sono dilungato io
@Gennaro
Intendi $\lim \int_{0}^{a}f=\lim \int_{a}^{b}f$ (ho abbreviato) no non è vero in generale.
Si infatti mi sono dilungato io
@Gennaro
Intendi $\lim \int_{0}^{a}f=\lim \int_{a}^{b}f$ (ho abbreviato) no non è vero in generale.
"gennarosdc":
@alessandro8:
si mi trovo con quello che dici tu cioè che l'integrale diverge per b=1 ma come lo spieghi?
si potrebbe dire che in quel punto la funzione ha un asintoto verticale e quindi è impossibile trovare la somma integrale sottostante? ( in questo caso stiamo parlando di integrale definito tra 0 e 1 )
Ciao.
Secondo me, se la questione è quella di far vedere che $int_0^1 (dx)/(1-x^2)$ diverge, dovrebbe essere sufficiente calcolare uno dei limiti tra quelli che tu stesso avevi evidenziato, cioè:
$lim_{a to 1^-} int_0^a (dx)/(1-x^2)$
Giusto?
"dan95":
@Alessandro
Si infatti mi sono dilungato io.
Allora tutto risolto.
Saluti.
"alessandro8":
[quote="gennarosdc"]@alessandro8:
si mi trovo con quello che dici tu cioè che l'integrale diverge per b=1 ma come lo spieghi?
si potrebbe dire che in quel punto la funzione ha un asintoto verticale e quindi è impossibile trovare la somma integrale sottostante? ( in questo caso stiamo parlando di integrale definito tra 0 e 1 )
Ciao.
Secondo me, se la questione è quella di far vedere che $int_0^1 (dx)/(1-x^2)$ diverge, dovrebbe essere sufficiente calcolare uno dei limiti tra quelli che tu stesso avevi evidenziato, cioè:
$lim_{a to 1^-} int_0^a (dx)/(1-x^2)$
Giusto?[/quote]
Scusami se prolungo la discussione..Alla fine si dovrebbe calcolare lo stesso l'integrale per come dici tu ?
Non lo si può dimostrare in altri modi?magari spiegando il comportamento della funzione in quel punto e le conseguenze come dicevo io prima?
Ciao.
Dovrebbero andar bene entrambi gli approcci, sia il tuo che il mio.
Saluti.
Dovrebbero andar bene entrambi gli approcci, sia il tuo che il mio.
Saluti.
Beh, per \(0\leq x<1\) si ha:
\[
\begin{split}
\frac{1}{1-x^2} &= \underbrace{\frac{1}{1+x}}_{> \frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{1-x}\\
&> \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-x}
\end{split}
\]
da cui, per monotònia dell'integrale, segue:
\[
\begin{split}
\int_0^x \frac{1}{1-t^2}\ \text{d} t &> \frac{1}{2}\cdot \int_0^x \frac{1}{1-t}\ \text{d} t\\
&= \frac{1}{2}\cdot \left[ -\log (1-t)\right]_0^x\\
&= -\frac{1}{2}\cdot \log (1-x)\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente:
\[
\lim_{x\to 1^-} \int_0^x \frac{1}{1-t^2}\ \text{d} t = +\infty\; ,
\]
per teorema del confronto, e perciò l'integrale improprio diverge in \(1\).
D'altro canto, la questione diventa ancora più semplice se si pensa all'integrabilità secondo Riemann (non all'integrabilità in senso improprio): infatti, la funzione assegnata non è limitata intorno ad \(1\) e perciò non può essere Riemann-integrabile in alcun intervallo che contenga tale punto.
\[
\begin{split}
\frac{1}{1-x^2} &= \underbrace{\frac{1}{1+x}}_{> \frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{1-x}\\
&> \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-x}
\end{split}
\]
da cui, per monotònia dell'integrale, segue:
\[
\begin{split}
\int_0^x \frac{1}{1-t^2}\ \text{d} t &> \frac{1}{2}\cdot \int_0^x \frac{1}{1-t}\ \text{d} t\\
&= \frac{1}{2}\cdot \left[ -\log (1-t)\right]_0^x\\
&= -\frac{1}{2}\cdot \log (1-x)\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente:
\[
\lim_{x\to 1^-} \int_0^x \frac{1}{1-t^2}\ \text{d} t = +\infty\; ,
\]
per teorema del confronto, e perciò l'integrale improprio diverge in \(1\).
D'altro canto, la questione diventa ancora più semplice se si pensa all'integrabilità secondo Riemann (non all'integrabilità in senso improprio): infatti, la funzione assegnata non è limitata intorno ad \(1\) e perciò non può essere Riemann-integrabile in alcun intervallo che contenga tale punto.
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