Dimostrazione integrabilità delle funzioni monotone (Riemann)
Ciao ragazzi, la mia prof ha dimostrato l'integrabilità delle funzioni monotone secondo Riemann in questo modo:
Supponendo f crescente, essa è limitata quindi $f(a)<=f(x)<=f(b)$
Se $f(a)=f(b)$ allora è costante, quindi integrabile (perché?)
Altrimenti fissato $\epsilon>0$, sia $D_(\epsilon)$ una partizione così fine tale che $|D_(\epsilon)| < (\epsilon)/(f(b)-f(a))$
Quindi abbiamo la classica dimostrazione che è riportata ovunque che termina con $D_(\epsilon) *(f(b)-f(a))<(\epsilon)$ per cui è dimostrata la tesi iniziale. I passaggi che portano a questo sono chiari, ma è proprio la tesi iniziale che non capisco, perché dev'essere $|D_(\epsilon)| < (\epsilon)/(f(b)-f(a))$ ????
Grazie
Supponendo f crescente, essa è limitata quindi $f(a)<=f(x)<=f(b)$
Se $f(a)=f(b)$ allora è costante, quindi integrabile (perché?)
Altrimenti fissato $\epsilon>0$, sia $D_(\epsilon)$ una partizione così fine tale che $|D_(\epsilon)| < (\epsilon)/(f(b)-f(a))$
Quindi abbiamo la classica dimostrazione che è riportata ovunque che termina con $D_(\epsilon) *(f(b)-f(a))<(\epsilon)$ per cui è dimostrata la tesi iniziale. I passaggi che portano a questo sono chiari, ma è proprio la tesi iniziale che non capisco, perché dev'essere $|D_(\epsilon)| < (\epsilon)/(f(b)-f(a))$ ????
Grazie
Risposte
perchè vuoi una partizione che sia il più piccolo possibile per cui la poni minore di $ epsilon $ (quantità piccola a piacere). il denominatore lo metti perché è comodo per i calcoli per non dover star lì tutte le volte a dire: "allora data l'arbitrarietà di $epsilon $ ottengo la tesi".
una funzione costante è integrabile perché in sostanza ti riduci a calcolare l'area di un rettangolo di base (b-a) e altezza h se f(x)=h, h>0. le funzioni costanti sono integrabili anche se presentano un numero finito di discontinuità.
una funzione costante è integrabile perché in sostanza ti riduci a calcolare l'area di un rettangolo di base (b-a) e altezza h se f(x)=h, h>0. le funzioni costanti sono integrabili anche se presentano un numero finito di discontinuità.
Grazie cooper 
la presenza del valore assoluto nella partizione significa qualcosa in particolare??
la presenza del valore assoluto nella partizione significa qualcosa in particolare??
bha ad essere sincero non avevo mai visto il modulo della partizione. io tra l'altro il teorema lo dimostravo facendo vedere che la differenza tra le somme superiori e quelle inferiori di una data partizione erano piccole a piacere. per una caratterizzazione dell'integrabilità seguiva quindi la tesi. per cui non so perchè abbiano utilizzato il modulo.
Ok, quindi ricapitolando, prendo una partizione dell'intervallo molto piccola. Poi pongo la differenza tra somme superiori e inferiori minore di epsilon e dai calcoli mi risulta la condizione che ho imposto all'inizio sulla partizione. Questo mi autorizza a dire che la funzione monotone è integrabile? Inoltre nella dimostrazione non ho ben capito cosa implica all'inizio il fatto che la funzione sia monotona. Ok la supponiamo crescente, ma nell'impostazione della dimostrazione dov'è la monotonia??
no, allora: supponiamo la funzione monotona crescente. sia $ P_n $ una partizione in n intervalli di uguale lunghezza ovvero $ P_n = {x_1, ..., x_n} $ e sia $ (x_i-x_(i-1))=(b-a)/nAA i=1,...,n $ (ho cioè suddiviso l'intervalli in n intervalli di uguale lunghezza) . si ha quindi \( f(x_(i-1))=m_i= \inf f(x) \) e \( f(x_(i))=M_i= \sup f(x) \) e quindi fissato $ epsilon>o, (b-a)/n=delta<(epsilon)/(M-m) $ si ha:
$ S(P_n,f)-s(P_n,f)=sum_(i = \1) ^(n)[f(x_i)-f(x_(i-1))] (b-a)/n=(b-a)/n sum_(i = \1) ^(n)[f(x_i)-f(x_(i-1))]=(b-a)/n (f(b)-f(a))<(epsilon)/(M-m)(M-m)
Sia $ f:[a,b] -> RR $ una funzione limitata allora risulta che \( f\in \Re \Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists P t.c. S(P,f)-s(P,f)<\varepsilon \) , P partizione di [a,b].
per cui noi abbiamo dimostrato che la differenza è piccola per cui possiamo concludere che è Riemann-integrabile.
$ S(P_n,f)-s(P_n,f)=sum_(i = \1) ^(n)[f(x_i)-f(x_(i-1))] (b-a)/n=(b-a)/n sum_(i = \1) ^(n)[f(x_i)-f(x_(i-1))]=(b-a)/n (f(b)-f(a))<(epsilon)/(M-m)(M-m)
Sia $ f:[a,b] -> RR $ una funzione limitata allora risulta che \( f\in \Re \Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists P t.c. S(P,f)-s(P,f)<\varepsilon \) , P partizione di [a,b].
per cui noi abbiamo dimostrato che la differenza è piccola per cui possiamo concludere che è Riemann-integrabile.
Grazie cooper
figurati
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