Dimostrazione: in un punto di massimo o minimo di una funzione, la sua derivata è nulla
Ciao a tutti,
sto provando a dimostrare questo teorema: in un punto di massimo o minimo di una funzione, la sua derivata è nulla.
Ho pensato di fare questo ragionamento:
partendo da:
$\{(f:(a,b)\toRR \text( è derivabile )),(x_0\in(a,b) \text( è un punto di max o min )):} => f'(x_0)=0$
mi sono detto:
suppongo che $x_0$ è un punto di minimo*. Allora potro' dire che esiste un intorno$I$ attorno a $x_0$ e piu' specificamente esiste la parte sinistra dell'intorno $I$: $I_s$ di $x_0$ dove $AAx\inI_s$ ho che $f(x)>f(x_0)$ e quindi $f'(x)<=0$.
Posso quindi fare un discorso analogo per la parte destra: prendo la parte destra dell'intorno $I$, ossia $I_d: AAx\in I_d$ ho che $f(x)>f(x_0)$ e quindi: $f'(x)>=0$.
Io ho pensato.. molto brutalmente e poco formalmente (ammesso che abbia fatto ragionamenti che stanno in piedi, sopra): "se prima di $x_0$ la derivata è negativa e dopo $x_0$ è positiva... da qualche parte deve cambiare di segno e passare per lo $0$**, lo dice il teorema degli zeri".
*= una funzione continua, su un intervallo, ha max e min (T. di Weierstrass)
**= perchè la funzione è continua nel mio intervallo $a-b$
un discorso identico lo potrei fare per il punto di massimo..
Puo' andare?
sto provando a dimostrare questo teorema: in un punto di massimo o minimo di una funzione, la sua derivata è nulla.
Ho pensato di fare questo ragionamento:
partendo da:
$\{(f:(a,b)\toRR \text( è derivabile )),(x_0\in(a,b) \text( è un punto di max o min )):} => f'(x_0)=0$
mi sono detto:
suppongo che $x_0$ è un punto di minimo*. Allora potro' dire che esiste un intorno$I$ attorno a $x_0$ e piu' specificamente esiste la parte sinistra dell'intorno $I$: $I_s$ di $x_0$ dove $AAx\inI_s$ ho che $f(x)>f(x_0)$ e quindi $f'(x)<=0$.
Posso quindi fare un discorso analogo per la parte destra: prendo la parte destra dell'intorno $I$, ossia $I_d: AAx\in I_d$ ho che $f(x)>f(x_0)$ e quindi: $f'(x)>=0$.
Io ho pensato.. molto brutalmente e poco formalmente (ammesso che abbia fatto ragionamenti che stanno in piedi, sopra): "se prima di $x_0$ la derivata è negativa e dopo $x_0$ è positiva... da qualche parte deve cambiare di segno e passare per lo $0$**, lo dice il teorema degli zeri".
*= una funzione continua, su un intervallo, ha max e min (T. di Weierstrass)
**= perchè la funzione è continua nel mio intervallo $a-b$
un discorso identico lo potrei fare per il punto di massimo..
Puo' andare?
Risposte
Per me potresti muoverti diversamente ed in modo più easy, utilizzando solo il Teorema di permanenza del segno.
Infatti se suppongo che $x_0$ sia punto di massimo relativo per $f$ e sia $I_r(x_0)$ un suo intorno tale che $f(x)<=f(x_0) AA x in I_r(x_0)$ posso dire che in tale intorno si ha quindi $\Deltaf=f(x)-f(x_0)<=0$.
Quindi se $x>x_0$, ovvero $\Deltax=x-x_0>0$, il rapporto incrementale $(\Deltaf)/(\Deltax)$ è $<=0$, quindi per la permanenza del segno si ha $lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)<=0$.
Analogamente, se $x=0$ pertanto:
$lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)>=0$.
(Sfrutto il fatto che $f$ è definita in un intorno di $x_0$ è derivabile in $x_0$ se e solo se è derivabile da destra e da sinistra e le due derivate coincidono)
Quindi $f'(x_0)=lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
Visto che $f'(x_0)$ dev'essere sia $<=0$ che $>=0$ allora si può concludere che $f'(x_0)=0$
Infatti se suppongo che $x_0$ sia punto di massimo relativo per $f$ e sia $I_r(x_0)$ un suo intorno tale che $f(x)<=f(x_0) AA x in I_r(x_0)$ posso dire che in tale intorno si ha quindi $\Deltaf=f(x)-f(x_0)<=0$.
Quindi se $x>x_0$, ovvero $\Deltax=x-x_0>0$, il rapporto incrementale $(\Deltaf)/(\Deltax)$ è $<=0$, quindi per la permanenza del segno si ha $lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)<=0$.
Analogamente, se $x
$lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)>=0$.
(Sfrutto il fatto che $f$ è definita in un intorno di $x_0$ è derivabile in $x_0$ se e solo se è derivabile da destra e da sinistra e le due derivate coincidono)
Quindi $f'(x_0)=lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
Visto che $f'(x_0)$ dev'essere sia $<=0$ che $>=0$ allora si può concludere che $f'(x_0)=0$
La tua idea di dimostrazione non mi sembra sbagliata, anzi, molto semplice e diretta, se però la derivata è continua, solo in questo caso puoi usare il teorema degli zeri, non basta che sia continua la funzione. Quindi non la puoi usare per dimostrare il teorema che ti viene dato (che poi si chiama teorema di Fermat), bisognerebbe aggiungere l'ipotesi di continuità della derivata.
Quello che è proprio è sbagliato è appellarsi al teorema di Weiestrass, quello vale per funzioni definite su un intervallo limitato e chiuso, non su un intervallo (a, b). Inoltre Weiestrass si riferisce a massimi e minimi assoluti, non a massimi e minimi relativi come Fermat. E il teorema di Fermat vale per i punti interni, perciò si ipotizza la funzione definita su un intervallo aperto (a,b).
Quello che è proprio è sbagliato è appellarsi al teorema di Weiestrass, quello vale per funzioni definite su un intervallo limitato e chiuso, non su un intervallo (a, b). Inoltre Weiestrass si riferisce a massimi e minimi assoluti, non a massimi e minimi relativi come Fermat. E il teorema di Fermat vale per i punti interni, perciò si ipotizza la funzione definita su un intervallo aperto (a,b).
Grazie a entrambi 
$ x_m , x_M $ma se io avessi scritto
$ \{(f:[a,b]\toRR \text( è derivabile )),(x_0\in[a,b] \text( è un punto di max o min )):} => f'(x_0)=0 $
avrei potuto usare il teorema di weierstrass?
Sulle schede della prof ho trovato:
il teorema di Weierstrass assicura l’esistenza di massimo $M$ e di
minimo $m$ di $f in [a, b]$. Se $M = m$ allora $f$ è costante e quindi $f (x) = 0 ∀x ∈ (a, b)$.
Se $m < M$ e $f (x_m ) = m, f (x_M ) = M$ , allora almeno uno dei punti $x_m , x_M$ è interno
ad $(a, b)$. Supponiamo ad esempio che sia $x_m$ interno ad $(a, b)$ e vediamo che allora
$f (x_m ) = 0$. Infatti, poiché $f (x_m ) ≤ f (x_m + h) ∀h$ abbastanza piccolo, risulta [...]
non ho capito quel: allora almeno uno dei punti $x_m , x_M$ è interno
ad $(a, b)$
perchè ?
non ho capito manco perche' dice: Supponiamo ad esempio che sia $x_m$ interno ad $(a, b)$ e vediamo che allora
$f (x_m ) = 0$
$ \{(f:[a,b]\toRR \text( è derivabile )),(x_0\in[a,b] \text( è un punto di max o min )):} => f'(x_0)=0 $
avrei potuto usare il teorema di weierstrass?
Sulle schede della prof ho trovato:
il teorema di Weierstrass assicura l’esistenza di massimo $M$ e di
minimo $m$ di $f in [a, b]$. Se $M = m$ allora $f$ è costante e quindi $f (x) = 0 ∀x ∈ (a, b)$.
Se $m < M$ e $f (x_m ) = m, f (x_M ) = M$ , allora almeno uno dei punti $x_m , x_M$ è interno
ad $(a, b)$. Supponiamo ad esempio che sia $x_m$ interno ad $(a, b)$ e vediamo che allora
$f (x_m ) = 0$. Infatti, poiché $f (x_m ) ≤ f (x_m + h) ∀h$ abbastanza piccolo, risulta [...]
non ho capito quel: allora almeno uno dei punti $x_m , x_M$ è interno
ad $(a, b)$
perchè ?
non ho capito manco perche' dice: Supponiamo ad esempio che sia $x_m$ interno ad $(a, b)$ e vediamo che allora
$f (x_m ) = 0$
"BoG":
Sulle schede della prof ho trovato:
il teorema di Weierstrass assicura l’esistenza di massimo $M$ e di
minimo $m$ di $f in [a, b]$. Se $M = m$ allora $f$ è costante e quindi $f (x) = 0 ∀x ∈ (a, b)$.
Se $m < M$ e $f (x_m ) = m, f (x_M ) = M$ , allora almeno uno dei punti $x_m , x_M$ è interno
ad $(a, b)$. Supponiamo ad esempio che sia $x_m$ interno ad $(a, b)$ e vediamo che allora
$f (x_m ) = 0$. Infatti, poiché $f (x_m ) ≤ f (x_m + h) ∀h$ abbastanza piccolo, risulta [...]
non ho capito quel: allora almeno uno dei punti $x_m , x_M$ è interno
ad $(a, b)$
perchè ?
Detto così sinceramente non lo capisco, i punti di massimo e di minimo di una funzione continua $ f $ definita su un intervallo chiuso e limitato $ [a,b] $ possomo benissimo stare entrambi negli estremi dell'intervallo, basta pensare a un funzione strettamente crescente su $ [a,b] $ .
Forse le schede volevano dire un'altra cosa o c'è qualche errore.
"BoG":
$ x_m , x_M $ma se io avessi scritto
$ \{(f:[a,b]\toRR \text( è derivabile )),(x_0\in[a,b] \text( è un punto di max o min )):} => f'(x_0)=0 $
avrei potuto usare il teorema di weierstrass?
Quando hai una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato puoi sempre usare Weiestrass, la tua f è derivabile quindi è continua.
Il punto è: che c'entra il teorema di Weiestrass con quello di Fermat? Il teorema di Weiestrass assicura l'esistenza di max e min assoluti sull'intervallo [a,b], nel teorema di Fermat si ipotizza l'esistenza di un max o min relativo su (a,b), e si dimostra che lì la derivata è nulla, non devi mica dimostrare che un min o un max esistono, c'è nell'ipotesi e, ripeto, sono min e max relativi.
"BoG":
$ x_m , x_M $ma se io avessi scritto
$ \{(f:[a,b]\toRR \text( è derivabile )),(x_0\in[a,b] \text( è un punto di max o min )):} => f'(x_0)=0 $
avrei potuto usare il teorema di weierstrass?
p.s. questa formulazione del teorema di Fermat su un intervallo chiuso è falsa, il fatto che la derivata si annulla nei punti di max e min relativi vale solo per i punti interni, quindi il teorema va formulato sull'intervallo aperto (a,b).
Grazie mille per le risposte. Credo di essermi fatto fregare dall'interpretazione: troppi modi diversi di scriver un intervallo aperto o chiuso ... $(a,b); )a,b(; [a,b]; a-b; ]a,b]..$ eccetera.
Invece per quello che riguarda il teorema, ti posto l'immaigne:
io ho fatto un ragionamento come il tuo: $f:[1,2]\in RR, f(x)=x$ (intervallo chiuso ) ha rispettivamente massimo e minimo in $1$ e $2$ e quindi non è vero che, come dice la prof nella dimostrazione, almeno uno tra il max o min è compreso in $(a,b)$ perchè $1$ e $2$ sono gli estremi e quindi non appartengono all'intervallo $(a,b)$. Dove ho sbagliato?
... $(a,b); )a,b(; [a,b]; a-b; ]a,b]..$ eccetera.Invece per quello che riguarda il teorema, ti posto l'immaigne:
io ho fatto un ragionamento come il tuo: $f:[1,2]\in RR, f(x)=x$ (intervallo chiuso
) ha rispettivamente massimo e minimo in $1$ e $2$ e quindi non è vero che, come dice la prof nella dimostrazione, almeno uno tra il max o min è compreso in $(a,b)$ perchè $1$ e $2$ sono gli estremi e quindi non appartengono all'intervallo $(a,b)$. Dove ho sbagliato?
Ah ma allora è il teorema di Rolle,non Fermat, perciò non capivo...
Me lo guardo più tardi con calma.
Grazie a te!
Me lo guardo più tardi con calma.
Grazie a te!
"BoG":
io ho fatto un ragionamento come il tuo: $f:[1,2]\in RR, f(x)=x$ (intervallo chiuso
Questo ragionamento è valido in generale, ma nel teorema di Rolle si ipotizza che $ f(a)=f(b) $, quindi se $ m< M $ uno dei due deve essere in un punto interno.
in effetti, mi sono fregato da solo.
in realta' l'esercizio non parlava di teorema di rolle esplicitamente, diceva solo:
$\{(f:(a,b)\toRR \text( è derivabile )),(x_0\in(a,b) \text( è un punto di max o min )):} => f'(x_0)=0$
comunque avrei dovuto capirlo da solo. grazie mille
in realta' l'esercizio non parlava di teorema di rolle esplicitamente, diceva solo:
$\{(f:(a,b)\toRR \text( è derivabile )),(x_0\in(a,b) \text( è un punto di max o min )):} => f'(x_0)=0$
comunque avrei dovuto capirlo da solo. grazie mille
Una piccola osservazione: la proprietà dei valori intermedî vale anche per le derivate, che siano continue o meno. Generalmente però si dimostra proprio a partire dai teoremi di base sulle funzioni derivabili...
@Fabricius: Ah sì?? C'è un teorema dei valori intermedi per derivate non continue?
@Bog: Grazie a te! In effetti l'esercizio non c'entrava con il teorema di Rolle
@Bog: Grazie a te! In effetti l'esercizio non c'entrava con il teorema di Rolle
@gabriella: si tratta di un risultato spesso citato come [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Darboux's_theorem_(analysis)]Proprietà di Darboux per le derivate[/url] o qualcosa del genere. Prova anche a cercare nel forum, ne abbiamo parlato molte volte. 
Grazie Paolo, me lo guardo
@ BoG @Obidream: Vi faccio una domanda offissimo topic
[ot]Quei pinguini con l'aria inc...ata, mi fa troppo ridere quello che esce dall'uovo con l'aria inc...ata, da dove vengono? Sono un film, un fumetto, cosa?[/ot]
[ot]Quei pinguini con l'aria inc...ata, mi fa troppo ridere quello che esce dall'uovo con l'aria inc...ata, da dove vengono? Sono un film, un fumetto, cosa?[/ot]
non ho capito di cosa parli
@BoG:[ot]Dell'avatar, la figura con pinguino, ma adesso ho saputo cos'è questo pinguino, è Tux la mascotte di Linux [/ot]
[/ot]
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