Dimostrazione identità del parallelogramma

[Riccardo_91]

Buonasera.
A tutti credo, sarà nota l'identità del parallelogramma: $ 2|| u || ^2 + 2|| v || ^2 = || u + v || ^2 + || u - v || ^2 $
Sono alle prese con un teorema, il cui enunciato è il seguente: Una norma può essere definita tramite la $ || v || = sqrt() $ a partire da un opportuno prodotto scalare se e solo se è soddisfatta l'identità del parallelogramma.

Devo ora dimostrare il teorema in ambo i versi. Risulta ovviamente banale che una norma definita a partire da un prodotto scalare soddisfi l'identità. Ho problemi invece nel dimostrare il viceversa.
Allora il punto di partenza e porre:
$ = (1/4)*(||x+y||^2 - ||x-y||^2)$ $ (A.1)$

Devo verificare che tale prodotto scalare è legato alla norma $ ||v|| = sqrt() $
Ora arrivo al problema, dagli appunti del professore, si continua dicendo... Essendo:
$ + = (1/4)*(||x+z||^2 + ||y+z||^2 - ||x-z||^2 - ||y-z||^2) $

Applicando l'identità del par. con (x+z) e (y+z) al posto di u e v e ricordando la (A.1), si ha:

$ + = (1/2)*(||((x+y)/2) + z||^2 - ||((x+y)/2) - z||^2) = 2*<((x+y)/2),z> $

E poi ovviamente si prosegue. Il mio problema è che non riesco a spiegarmi l'ultimo passaggio da me mostrato. In quanto applicata l'identità con u = x+z e v = y+z, insieme alla (A.1), non riesco ad ottenere l'espressione finale.

Grazie in anticipo