Dimostrazione giusta? [Limiti]

[Flamber]

Buonasera forum,

Il mio libro di analisi 1 riporta una dimostrazione un po' laboriosa (ed anche incompleta) della seguente proprietà:

se $lim_(x->c) f(x)=l$ e $lim_(x->c) g(x)=m$

allora

$lim_(x->c) [f(x)*g(x)]=lm$

Ho provato a farne la dimostrazione personalmente, e vorrei sapere se è tutto corretto, soprattutto in un passaggio che mi sembra "illecito".

DIMOSTRAZIONE:

Per ipotesi sappiamo che

$x∈I'(c)\{c} => |f(x)-l| $x∈I''(c)\{c} => |g(x)-m|
(Molti di voi avranno già capito dove voglio andare a parare, comunque intanto ho semplicemente dato le definizioni di limite e sostituito $\epsilon$ con $sqrt(\epsilon)$ )

Scelto $I(c)=I'(c)nnI''(c)$

Per $x in I(c)$

$|(f(x)-l)*(g(x)-m)|
$|(f(x)*g(x)) - (l*g(x)) - (m*f(x)) +lm|<\epsilon$

Quella che segue è la parte che non so se è lecita o meno.

Visto che ne conosco i limiti, nelle ultime due parentesi nel valore assoluto, ho sostituito g(x) ed f(x) approssimandoli al loro valore limite a c, visto che stiamo ragionando in un intorno di c

$|(f(x)*g(x)) - (l*m) - (m*l) +lm|<\epsilon$
$|(f(x)*g(x)) - (l*m)|<\epsilon$ su $I(c)$

e quindi

$lim_(x->c) [f(x)*g(x)]=lm$

[Luca.Lussardi]

No, non è valido quel passaggio.