Dimostrazione: f(x)=x

[LaChiara1]

Ciao a tutti,
ieri ho dato l'esame di Matematica I, ma un esercizio richiedeva di dimostrare che, se la funzione f è continua in un intervallo (a,b), e se f(a)b, allora esiste una f(x)=x, e di fare esplicito riferimento ai teoremi utilizzati.
Ho pensato a mille teoremi (cioè a quei 5 che conosco:) ma non mi è venuto in mente niente che potesse legare la relazione tra f(a) e a alla relazione tra f(c) e c, se non il fatto che, essendo continua, deve necessariamente assumere tutti i valori nell'intervallo ed intuitivamente assumerà anche valore f(c) in c, e poi ho cercato di inventarmi qualcosa, spiegando che se f(a)-a<0 e f(b)-b>0 allora per il teorema degli zeri esiste un punto in cui f(c)-c=0... è proponibile, o ho scritto un abominio?
grazie!

[girdav]

Infatti hai applicato il teorema degli zeri alla funzione $g(x)=f(x)-x$ dunque è corretto.

[Gi81]

Il concetto è quello, ma potevi essere un po' più precisa: dovevi partire considerando $g(x)=f(x)-x$

Tale funzione è continua in $[a,b]$ (perchè è differenza di funzioni continue), e inoltre $g(a)<0$, $g(b)>0$
Pertanto $EE c in (a,b)$ tale che $g(c)=0$. Equivalentemente, $EE c in (a,b)$ tale che $f(c)-c=0$, cioè $f(c)=c$

edit: anticipato. scusa girdav

[LaChiara1]

eccoci! Grazie mille! Infatti avevo capito di essere stata vaga o comunque imprecisa, ma non sapevo come formularmi meglio... grazie!