Dimostrazione funzione crescente
per ogni reale positivo $ a>1 $ la funzione $ log x/loga $ è strettamente crescente in x.
sapendo che $ log x $ è una funzione crescente e $ log a $ una funzione crescente mi verrebbe da dire che sia crescente.
come risolvo la seguente affermazione in modo rigoroso
sapendo che $ log x $ è una funzione crescente e $ log a $ una funzione crescente mi verrebbe da dire che sia crescente.
come risolvo la seguente affermazione in modo rigoroso
Risposte
Ciao.
Attenzione, il termine $log a$ non è una funzione, è una costante, inoltre il rapporto tra funzioni crescenti, in generale, non dà luogo ad una funzione crescente.
Esempio:
$x/x^2=1/x$, con $x>0$ è un rapporto tra funzioni crescenti, ma il risultato è una funzione decrescente.
Inoltre, ammesso che ciò possa servire a qualcosa, vale: $(log x)/(log a)=log_a x$.
Saluti.
Attenzione, il termine $log a$ non è una funzione, è una costante, inoltre il rapporto tra funzioni crescenti, in generale, non dà luogo ad una funzione crescente.
Esempio:
$x/x^2=1/x$, con $x>0$ è un rapporto tra funzioni crescenti, ma il risultato è una funzione decrescente.
Inoltre, ammesso che ciò possa servire a qualcosa, vale: $(log x)/(log a)=log_a x$.
Saluti.
scusami puoi dire i passaggi per avere $ log x/log a = log_a x $ ???
Dimostrazione della cosiddetta "formula del cambiamento di base".
Si vuole far vedere che, in generale (sottointendendo valide le condizioni di esistenza dei logaritmi), vale $log_a b=(log_c b)/(log_c a)$
Poniamo:
${(log_a b=p Rightarrow a^p=b),(log_c b=q Rightarrow c^q=b),(log_c a=r Rightarrow c^r=a):}$ (per definizione di logaritmo)
Dimostrando la validità di $p=q/r$, si sarebbe a posto.
$a^p=b$, ma $c^r=a$, quindi $(c^r)^p=b$.
D'altra parte $c^q=b$, quindi $(c^r)^p=c^q$, cioè: $c^(r*p)=c^q Rightarrow r*p=q Rightarrow p=q/r$.
Con questo stesso tipo di tecnica si possono dimostrare tutte le altre proprietà dei logaritmi.
Saluti.
Si vuole far vedere che, in generale (sottointendendo valide le condizioni di esistenza dei logaritmi), vale $log_a b=(log_c b)/(log_c a)$
Poniamo:
${(log_a b=p Rightarrow a^p=b),(log_c b=q Rightarrow c^q=b),(log_c a=r Rightarrow c^r=a):}$ (per definizione di logaritmo)
Dimostrando la validità di $p=q/r$, si sarebbe a posto.
$a^p=b$, ma $c^r=a$, quindi $(c^r)^p=b$.
D'altra parte $c^q=b$, quindi $(c^r)^p=c^q$, cioè: $c^(r*p)=c^q Rightarrow r*p=q Rightarrow p=q/r$.
Con questo stesso tipo di tecnica si possono dimostrare tutte le altre proprietà dei logaritmi.
Saluti.
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