Dimostrazione funzione continua

[Rebb10]

Ciao a tutti, vorrei dei suggerimenti per capire questa dimostrazione:
Sia $h:RR->RR$ una funzione continua e tale che
$\lim_{x \to \infty} |h(x)-cosx|=1/2$
dimostrare che $h$ si annulla in infiniti punti

[gugo82]

Idee tue?

[Rebb10]

Ho pensato al Teorema degli zeri, in quanto garantisce almeno l'esistenza di uno zero

[otta96]

Perché lo garantisce?

[gugo82]

E quando la garantisce?
Che ipotesi ti serve soddisfare?

[Rebb10]

Devo prima di tutto avere una funzione definita in un intervallo... che io no ho però, cioè $RR$ è un intervallo illimitato

[otta96]

Di una funzione puoi sempre considerare le restrizioni ai sottoinsiemi del dominio che preferisci.

[Rebb10]

Ma come tratto quel limite?

[otta96]

Usando che se un limite è minore di $2/3$, la funzione è definitivamente minore di $1$.

[caffeinaplus]

Edit: Avevo letto male il testo

[gugo82]

"caffeinaplus":Il limite di $abs(h(x)-cos(x))$ in verità non dovrebbe esistere data la natura del coseno.

Mmmm... Vediamo.
E cosa succede se $h(x) = 1/2 + cos x$?

"caffeinaplus":Ma se consideri $g(x)=h(x)-cos(x)$ sai che, essendo la differenza di due funzioni continue, è continua e da un certo punto $m$ in poi $g(x)$ oscilla tra valori positivi e negativi in continuazione su intervalli del tipo $[x_0-delta;x_0+delta] AA x_0: x_0-delta>m$

Scusa?

[caffeinaplus]

Hai ragione a essere perplesso, in pratica ieri sera ero così stanco che ho letto male il testo e mi sono inventato un mio esercizio

Se non ti dispiace modifico il post, magari crea solo confusione all'autore!

[Rebb10]

"otta96":Usando che se un limite è minore di $2/3$, la funzione è definitivamente minore di $1$.

@otta96 potresti spiegarmi meglio?
Grazie