Dimostrazione funzione continua
Salve ragazzi, ecco la mia prima domanda su questo forum, ho deciso di chiedere il vostro parere non trattandosi di un esercizio verificabile con una calcolatrice ma di una piccola dimostrazione richiesta in alcuni dei testi d'esame svolti nel mio corso negli scorsi anni.
Il testo è il seguente :
Sia f : [0;1]-->R una funzione continua tale che f(0) = 0, f(1) = 5.
a) Provare che vale l'implicazione
f iniettiva =) f([0;1]) = [0;5] :
b) Decidere se vale pure l'implicazione contraria.
MI è sembrato un esercizio abbastanza semplice ed ho provato a scrivere la soluzione, vi chiedo di leggerla e commentare, dicendomi se secondo voi è completa o no, e in caso per quale motivo.
Per il teorema dei valori intermedi la f assumerà tutti i valori compresi tra il suo massimo ed il suo minimo assoluti nell'intervallo [0,1].
Se la f è iniettiva ,essendo anche continua essa deve essere non decrescente nell'intervallo suddetto e quindi min f=0 e max f=5 (sempre nell'intervallo [0,1]).
Di conseguenza f([0,1])= [0,5].
Non vale la contro implicazione, infatti se f([0,1])=[0,5], nulla si può dire sulla iniettività di f, che potrebbe, ad esempio, essere una funzione oscillante.
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte
Il testo è il seguente :
Sia f : [0;1]-->R una funzione continua tale che f(0) = 0, f(1) = 5.
a) Provare che vale l'implicazione
f iniettiva =) f([0;1]) = [0;5] :
b) Decidere se vale pure l'implicazione contraria.
MI è sembrato un esercizio abbastanza semplice ed ho provato a scrivere la soluzione, vi chiedo di leggerla e commentare, dicendomi se secondo voi è completa o no, e in caso per quale motivo.
Per il teorema dei valori intermedi la f assumerà tutti i valori compresi tra il suo massimo ed il suo minimo assoluti nell'intervallo [0,1].
Se la f è iniettiva ,essendo anche continua essa deve essere non decrescente nell'intervallo suddetto e quindi min f=0 e max f=5 (sempre nell'intervallo [0,1]).
Di conseguenza f([0,1])= [0,5].
Non vale la contro implicazione, infatti se f([0,1])=[0,5], nulla si può dire sulla iniettività di f, che potrebbe, ad esempio, essere una funzione oscillante.
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte
Risposte
Il tuo ragionamento è corretto !
Va notato che tu usi il teorema per cui: se $f$ è continua e iniettiva su un intervallo , allora $f$ è strettamente
monotona (teorema vero e dimostrabile - con un po' di lavoro - a partire dal teorema dei valori intermedi).
Nella domanda che avevi (parte a) ), avresti potuto evitare quel teorema usando solo quello dei valori intermedi. Infatti se per assurdo il massimo fosse maggiore di $5$ ci sarebbe un punto $\bar x\in[0,1]$ tale che $f(\bar x)>5$.
Allora $0=f(0)<5
Comunque si tratta di dettagli ...
Va notato che tu usi il teorema per cui: se $f$ è continua e iniettiva su un intervallo , allora $f$ è strettamente
monotona (teorema vero e dimostrabile - con un po' di lavoro - a partire dal teorema dei valori intermedi).
Nella domanda che avevi (parte a) ), avresti potuto evitare quel teorema usando solo quello dei valori intermedi. Infatti se per assurdo il massimo fosse maggiore di $5$ ci sarebbe un punto $\bar x\in[0,1]$ tale che $f(\bar x)>5$.
Allora $0=f(0)<5
Comunque si tratta di dettagli ...
Va notato che tu usi il teorema per cui: se f è continua e iniettiva su un intervallo , allora f è strettamente
monotona (teorema vero e dimostrabile - con un po' di lavoro - a partire dal teorema dei valori intermedi).
Si si lo so, è infatti uno dei teoremi che abbiamo dimostrato durante le lezioni, per questo ci ho pensato e l'ho utilizzato
Comunque grazie della risposta, sono contento di sapere che il mio ragionamento era corretto, ed ho trovato interessante l'alternativa che mi hai proposto, buona giornata
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