Dimostrazione Formule di Eulero
$$cosy=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}$$ $$siny=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}$$
Ciao ragazzi..ho difficoltà a capire la dimostrazione data dal prof.....è la seguente:
$e^{iy}=cosy+isiny$, essendo coseno funzione pari e seno dispari $\rightarrow e^{-iy}=cos(-y)+isin(-y)=cosy-isiny=e^{\overline{iy}}$(quell'iy "coniugato", non mi è chiaro)...poi continua cosi:
Sommando/sottraendo $e^{iy}$ e $e^{-iy}$, deduciamo quindi le formule di Eulero.
Anche quest'ultima frase non mi è molto chiara.
Sapreste chiarirmela? Grazie
Ciao ragazzi..ho difficoltà a capire la dimostrazione data dal prof.....è la seguente:
$e^{iy}=cosy+isiny$, essendo coseno funzione pari e seno dispari $\rightarrow e^{-iy}=cos(-y)+isin(-y)=cosy-isiny=e^{\overline{iy}}$(quell'iy "coniugato", non mi è chiaro)...poi continua cosi:
Sommando/sottraendo $e^{iy}$ e $e^{-iy}$, deduciamo quindi le formule di Eulero.
Anche quest'ultima frase non mi è molto chiara.
Sapreste chiarirmela? Grazie
Risposte
E' inutile passare per il coniugato. Siamo d'accordo che:
1) $e^(i y)= cos(y)+i sin(y) $
2) $e^(-i y) = cos(y)-i sin(y)$
Sommando 1 e 2 otteniamo $e^(iy)+ e^(-iy) = 2 cos(y)$. Dividendo per $2$ si ha $cos(y) = (e^(iy)+ e^(-iy))/2$.
Sottraendo 2 da 1 otteniamo $e^(iy)-e^(-iy) = 2i sin(y)$. Dividendo per $2i$ si ha $sin(y) = (e^(iy)-e^(-iy) )/(2i)$.
1) $e^(i y)= cos(y)+i sin(y) $
2) $e^(-i y) = cos(y)-i sin(y)$
Sommando 1 e 2 otteniamo $e^(iy)+ e^(-iy) = 2 cos(y)$. Dividendo per $2$ si ha $cos(y) = (e^(iy)+ e^(-iy))/2$.
Sottraendo 2 da 1 otteniamo $e^(iy)-e^(-iy) = 2i sin(y)$. Dividendo per $2i$ si ha $sin(y) = (e^(iy)-e^(-iy) )/(2i)$.
Ottimo ... Ti ringrazio [emoji1]
Amarildo φ
Amarildo φ
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo