Dimostrazione formule di addizione di seno e coseno con la funzione esponenziale

[borto97]

Ciao a tutti, un esercizio mi chiede di dimostrare le formule di addizione di seno e coseno ($sin(x+y)$ e $cos(x+y)$ per intenderci) a partire dalle identità

$exp(z+\zeta) = exp(z)exp(\zeta)$

$cosx = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$sinx = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

Io l'ho dimostrato, ma praticamente la mia dimostrazione è un "calcolo al contrario", cioè è come se avessi svolto i calcoli dalle espressioni finali per poi rifarli al contrario (si basa tutta sull'aggiungi e togli). Mi chiedevo se qualcuno di voi conoscesse una dimostrazione più elegante

[ciampax]

Se usi le espressioni di seno e coseno, otterrai che $e^z=\cos z+i\sin z$, per cui
$$e^{x+y}=\cos(x+y)+i\sin(x+y)$$
D'altra parte
$$e^{x+y}=e^{x} e^{y}=(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)$$
se fai un po' di conti in questa e uguagli le due espressioni, hai il risultato.

[borto97]

Avrei fatto così ma ho pensato che forse l'esercizio voleva che usassi solo le identità che ho scritto.. comunque grazie, casomai le faccio tutte e due

[spugna2]

"shot22":Avrei fatto così ma ho pensato che forse l'esercizio voleva che usassi solo le identità che ho scritto..

Beh, in realtà quella formula è una conseguenza immediata di quelle che hai scritto: se scrivi $cos x +i sin x$ e sostituisci usando le definizioni di seno e coseno, viene proprio $e^(ix)$. Comunque non ho capito una cosa: nelle uguaglianze che vuoi dimostrare, $x$ e $y$ sono variabili reali o complesse?

[borto97]

Reali

[spugna2]

Ah ok, allora è più facile di quanto pensassi XD