Dimostrazione formula raggio di convergenza

[jigen45]

Buon pomeriggio ragazzi, un quesito mi chiede:
"Dimostrazione della formula che permette di determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze, utilizzando il criterio della radice o del rapporto per serie numeriche."
Ora, anche se non sono sicuro (visto che mi chiede la dimostrazione), ho pensato che il riferimento su wikipedia potesse fare al caso mio. Sbaglio secondo voi? Ringrazio in anticipo

[poncelet]

Il tuo link ti dice soltanto come calcolare il raggio di convergenza. Ma non lo dimostra. Quale testo usi di Analisi?

[jigen45]

Grazie mille per la risposta uso l'adams, che è un testo di calcolo, non tanto teorico. Ho provato a trovare la dimostrazione da qualche parte ma non l'ho trovata

[gugo82]

Se conosci e sai applicare i criteri della radice e del rapporto per le serie numeriche non c'è troppo lavoro da fare per ottenere una dimostrazione di ciò che chiedi.
Prova da solo a farla.

[jigen45]

Quindi posso dire:

Data una serie di potenze

$ sum_(n=0)^inftya_n(x-c)^n $

Per conoscere il raggio di convergenza $R$ posso applicare il criterio del rapporto

$ lim_(nrarrinfty)|(a_(n+1))/(a_n)| $

o il criterio della radice

$ lim_(nrarrinfty)root(n)(|a_n|) $

Il raggio di convergenza $R$ sarà uguale al reciproco del limite $|1/L|$

Giusto?

[gugo82]

E questa ti pare una dimostrazione?

[jigen45]

No, ma questo è quello che so. È proprio la dimostrazione quella che non riesco a trovare. Mi dispiace

[gugo82]

Quelli che hai scritto sono, grossomodo, gli enunciati dei criteri.

Come ben sai, una dimostrazione non è un enunciato. Essa è un'argomentazione che consente di mostrare agli altri (ossia di "giustificare", come dice la traccia dell'esercizio) la verità di un'affermazione, la tesi, partendo dalla verità di certi assunti, le ipotesi, usando le regole logiche di base.
Questo è l'unico modo in cui i matematici convincono gli altri matematici della verità dei teoremi, cioé di quelle proposizioni che vengono enunciate nella forma "se... allora...".

Tu vuoi dimostrare che valgono quelle due regole lì, supposto che valgano i due criteri corrispondenti per le serie numeriche.
Come vuoi provare a fare?
Comincia ad elaborare una strategia.

[jigen45]

Credimi, non ci riesco da solo. Ho trovato una dimostrazione in rete anche se mi sembra abbastanza complessa.
Ve la allego

[gugo82]

Non devi cercare fuori, ma dentro le tue conoscenze.
Prova a costruire la dimostrazione da te, postala e poi ne parliamo.

Suggerimento (per iniziare): Se pensi ad \(x\) come ad un parametro fissato, la serie \(\sum a_n x^n\) è una serie numerica.

[jigen45]

Sia $suma_n(x-c)^n$. Può esistere un valore positivo $R$ tale che

i) la serie converge $AAx$ se $|x-c|
ii) diverge $AAx$ se $|x-c|>R$.

Ciò significa che la serie converge in un intervallo centrato in $x=cqquad(c-R, c+R)$, con gli estremi che possono convergere o non convergere.

Questo numero $R$, chiamato raggio di convergenza, può essere determinato applicando il criterio del rapporto:
se i), allora l'intervallo centrato in $x=c$ nel quale la serie converge è finito, e la serie converge assolutamente quando il limite del rapporto $rho<1$, cioè nei punti tali che

$|x-c|
Perdonatemi se ho sbagliato.. Se qualcosa è giusto, si può scrivere in modo più semplice? Grazie in anticipo!

[gugo82]

Beh, semplicemente questa non è una dimostrazione.

Ad esempio qui:

"jigen45":Questo numero $R$, chiamato raggio di convergenza, può essere determinato applicando il criterio del rapporto:
se i), allora l'intervallo centrato in $x=c$ nel quale la serie converge è finito, e la serie converge assolutamente quando il limite del rapporto $rho<1$, cioè nei punti tali che
$|x-c|
non si capisce nulla di cosa tu voglia dire.
Chi è \(\rho\)? Chi è \(L\)?
Quali sono le ipotesi che stai usando?
Quale è la tesi?

[jigen45]

Ciao, grazie per la risposta! Non è una dimostrazione perché è tutta un'ipotesi (anzi in realtà ce ne sono due, giusto?).

Mi scuso se non ci sono riuscito. È lecito chiedere se sono disponibili in rete delle dimostrazioni per il raggio di convergenza applicando il criterio della radice o del confronto? Vi ringrazio in anticipo!

[gugo82]

Se continui ad arrenderti così non vai da nessuna parte, né nello studio né nella vita.

Riprova.
E segui il mio suggerimento per iniziare.

[jigen45]

Grazie gugo82. Però aldilà di tutto, ho chiesto se qualcuno ha questa dimostrazione da qualche parte, quindi penso sia lecito, non ho chiesto di risolvere un esercizio. Ho provato ma non riesco ad andare avanti:

Hp:
Sia $suma_nx^n$ una serie numerica con $x$ fissato, allora il raggio di convergenza $R = |1/rho|$, dove $rho$ è il limite del rapporto della serie.

Th:
$rho=lim_(nrarrinfty)|(a_(n+1)(x^(n+1)))/(a_n(x^n))|= lim_(nrarrinfty)|a_(n+1)/a_n||x|$

poi?..

[gugo82]

Il problema è che hai delle grosse lacune già nella formalizzazione dell'enunciato di un teorema.
Probabilmente, una gran parte di questa difficoltà è dovuta al libro che usi; ma è comunque strano che tu non abbia nient'altro cui appoggiarti, soprattutto se hai seguito il corso e preso appunti (credo che anche il prof. più scarso di Analisi, qui in Italia, non abbia alcun problema ad enunciare il criterio del rapporto in maniera chiara e corretta).

L'enunciato del teorema è il seguente:

Sia \(\sum a_n (x-x_0)^n\) una serie di potenze (a coefficienti reali) di centro \(x_0\).
Supponiamo che \(a_n\neq 0\) per \(n\) sufficientemente grande e che il limite:
\[
\lim_n \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}
\]
esista e sia uguale ad \(l\in [0,\infty]\).
Il raggio di convergenza \(\rho\) della serie di potenze \(\sum a_n (x-x_0)^n\) è:

[*:amucpo93] \(\rho =\infty\) se \(l=0\);

[/*:m:amucpo93]
[*:amucpo93] \(\rho = \frac{1}{l}\) se \(0
[/*:m:amucpo93]
[*:amucpo93] \(\rho =0\) se \(l=\infty\). [/*:m:amucpo93][/list:u:amucpo93]
Se, per comodità, conveniamo di porre \(1/l = 0\) [risp. \(=\infty\)] quando \(l=\infty\) [risp. \(=0\)], allora possiamo compendiare le relazioni precedenti nell'uguaglianza \(\rho = 1/l\), ossia:
\[
\rho = \frac{1}{\lim_n \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}}\; .
\]

La dimostrazione è immediata.

Dim.: Fissato \(x\in \mathbb{R}\setminus \{x_0\}\), consideriamo la serie numerica \(\sum a_n (x-x_0)^n\).
Formando i rapporti tra i valori assoluti di termini consecutivi (cosa lecita per \(n\) sufficientemente grande) troviamo:
\[
\begin{split}
\frac{|a_{n+1} (x-x_0)^{n+1}|}{|a_n (x-x_0)^n|} &= \frac{|a_{n+1}|\ |x-x_0|^{n+1}}{|a_n|\ |x-x_0|^n}\\
&= \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\ |x-x_0|
\end{split}
\]
cosicché, per le ipotesi fatte sui coefficienti della s.d.p., esiste certamente il:
\[
\lim_n \frac{|a_{n+1} (x-x_0)^{n+1}|}{|a_n (x-x_0)^n|} = \lim_n \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\ |x-x_0| = l\ |x-x_0|\; .
\]
Tre sono i casi possibili:

[*:amucpo93] se \(l=0\), allora il limite precedente è anch'esso nullo indipendentemente dal valore di \(x\): per il criterio del rapporto per le serie numeriche, ciò significa che la serie numerica \(\sum a_n (x-x_0)^n\) converge, quindi la serie di potenze converge in tutto \(\mathbb{R}\);

[/*:m:amucpo93]
[*:amucpo93] se \(01], quindi la serie di potenze converge se \(|x-x_0|<1/l\) e diverge se \(|x-x_0|>1/l\);

[/*:m:amucpo93]
[*:amucpo93] se \(l=\infty\), allora il limite precedente è sempre \(=\infty\) indipendentemente dal valore di \(x\): per il criterio del rapporto, la serie numerica \(\sum a_n (x-x_0)^n\) non converge, quindi la serie di petenze \(\sum a_n (x-x_0)^n\) non converge in alcun \(x\neq x_0\).[/*:m:amucpo93][/list:u:amucpo93]
Allora, rispettivamente, nei tre casi precedenti si ha \(\rho=\infty\), \(\rho =1/l\) e \(\rho=0\), come volevamo. \(\square\)

[jigen45]

gugo82 non so come ringraziarti! Il mio problema derivava proprio dal fatto che non ho avuto la possibilità di seguire il corso, per cui non ho appunti.. Ti ringrazio infinitamente per l'aiuto datomi. !! Sei un grande

[gugo82]

Prego.
Ma continuo a ripeterti che dovresti cambiare libro, invece di cercare nel mare magnum del web, e che dovresti imparare a fare le dimostrazioni da solo.

Tuttavia, non posso fare a meno di notare che le serie di potenze non sono un argomento standard in un corso di Analisi Matematica 1 (di solito rientrano nel programma di Analisi 2), quanto piuttosto di un corso di Calculus di stampo anglosassone... Mi chiedo, perciò: ma questo è l'unico esame di Analisi che dovrai affrontare?
Se sì, allora amen.
Ma se no, ti conviene studiare seriamente ora, se non vuoi lavorare il quadruplo per i successivi esami.

[jigen45]

nel mio corso gli esami sono suddivisi in calcolo differenziale (limiti, derivate, studio di funzioni, che ho superato bene) poi integrale (serie di potenze, integrali, quello che dovrò affrontare) poi algebra, calcolo delle probabilità e calcolo numerico (su questi non so dirti molto, perché ancora devo affrontarli). Quindi non propriamente esami di Analisi

Ti ringrazio per i consigli, cercherò di migliorare in futuro!

[gugo82]

Mmmm... Quindi questo non è il tuo primo esame di Analisi.
Ma nell'altro come è stata trattata la teoria?

Anzi... La teoria è stata trattata? Hai enunciato mai teoremi? Hai studiato/fatto dimostrazioni? Come si è svolto l'esame?

Mi pare un po' strano che tu abbia ancora tali difficoltà nel formalizzare gli enunciati e nel costruire dimostrazioni dopo aver "superato bene" un esame di Calcolo Differenziale.

[jigen45]

Nell'altro esame avevo seguito il corso e molto del programma erano argomenti trattati anche nel liceo scientifico, per cui mi sono trovato bene. Questo mi sembra un po' più difficile, considerando anche che non ho seguito il corso, di più non so dirti..