Dimostrazione, Formula fondamentale del calcolo Integrale

[xsl]

Salve ragazzi,

La formula da dimostrare è la seguente:

$ [a, b] int f(x) dx = G(b) - G(a) $

il mio libro propone nei seguenti passi la dimostrazione della formula f. del calcolo Integrale:

$ G(x) = F(x)+c =$ (1) $ c + [a, x] int f(t) dt $
ponendo x=a si ottiene $ G(a) = c + [a, a] int f(t) dt = c $
dunque sostituendo nella (1) si ha $ G(x) = G(a) + [a, x] int f(t) dt $
in questo punto il libro interrompe la dimostrazione e dice che poi successivamente si deve porre x=b!
Io non ho capito di qui in poi come si giunge alla formula finale! Chi mi aiuta a completare la dimostrazione?

[gugo82]

Avrai dimostrato due cose in precedenza: 1) che due primitive qualsiasi di $f$ differiscono per una costante additiva e 2) che la funzione integrale $F(x):=\int_a^x f(t)" d"t$ è la primitiva di $f$ (qui assumiamo $f$ continua per semplicità) che si annulla in $a$.

Alla luce di 1) e 2), la dimostrazione è banale: infatti presa una qualsiasi primitiva $G$ di $f$, si ha $AA x\in [a,b],\ G(x)=F(x)+c$ e quindi $c=G(a)-F(a)=G(a)$; pertanto $G(x)=F(x)+G(a)=\int_a^x f(t)" d"t +G(a)$; ponendo $x=b$ trovi con un passaggio $\int_a^b f(t)" d"t=G(b)-G(a)$.