Dimostrazione formula di De Moivre per le radici
Buongiorno,
volevo sapere se qualcuno poteva scivermi la dimostrazione della formula di De Moivre per il calcolo delle radici di un numero complesso che scrivo qui sotto.
$ z^(1/n)=rho ^(1/n)[cos((vartheta +2kpi)/n)+isin((vartheta +2kpi)/n)] $
Sul mio libro non c'è e su internet trovo solo quella per il calcolo delle potenze, ma per l'orale devo sapere anche questa! Potete darmi una mano?
Grazie
volevo sapere se qualcuno poteva scivermi la dimostrazione della formula di De Moivre per il calcolo delle radici di un numero complesso che scrivo qui sotto.
$ z^(1/n)=rho ^(1/n)[cos((vartheta +2kpi)/n)+isin((vartheta +2kpi)/n)] $
Sul mio libro non c'è e su internet trovo solo quella per il calcolo delle potenze, ma per l'orale devo sapere anche questa! Potete darmi una mano?
Grazie
Risposte
Eh ma se conosci quella delle potenze la sai già ... 
Non capisco...se sono la stessa dimostrazione perché me ne chiede due separate? Io so dimostrare che:
$ (cosvartheta +isinvartheta)^n=[cos(nvartheta)+isin(nvartheta)] $
Per dimostare quella delle radici bisogna sostituire al posto di n, 1/n?
$ (cosvartheta +isinvartheta)^n=[cos(nvartheta)+isin(nvartheta)] $
Per dimostare quella delle radici bisogna sostituire al posto di n, 1/n?
Posto $ntheta=phi$ se tu dovessi passare dal membro di destra a quello di sinistra cosa faresti?
L'unica cosa a cui fare attenzione consiste nel fatto che $cosalpha=cos(alpha+2pi)$ e simili, non so se mi sono spiegato ...
L'unica cosa a cui fare attenzione consiste nel fatto che $cosalpha=cos(alpha+2pi)$ e simili, non so se mi sono spiegato ...
Credo che la risposta sia più semplice di quanto sembri, ma non ci arrivo 
se $ nvartheta = phi $ (ma cosa si intende con phi? L'hai scelto come lettera a caso o indica qualcosa di specifico che non so?)
A questo punto la formula per il calcolo dell potenze diventa
$ (cosvartheta+isintheta)^n=[cosphi+isinphi] $
e adesso? Se faccio la radice n-esima ad ambo i lati mi viene
$ (cosvartheta+isintheta)=[cosphi+isinphi]^(1/n) $
giusto?
se $ nvartheta = phi $ (ma cosa si intende con phi? L'hai scelto come lettera a caso o indica qualcosa di specifico che non so?)
A questo punto la formula per il calcolo dell potenze diventa
$ (cosvartheta+isintheta)^n=[cosphi+isinphi] $
e adesso? Se faccio la radice n-esima ad ambo i lati mi viene
$ (cosvartheta+isintheta)=[cosphi+isinphi]^(1/n) $
giusto?
$phi$ o $alpha$ o $beta$, chiamalo come ti pare ... dovevo dargli un nome, no? 
Se parti da qui ...
$ (cosvartheta +isinvartheta)^n=[cos(nvartheta)+isin(nvartheta)] $ e posto $ntheta=phi$ allora sarà ...
$ (cos(phi/n) +isin(phi/n))^n=[cos(phi)+isin(phi)] $, no?
L'incoveniente però è che $cos(phi)+isin(phi)=cos(phi+2kpi)+isin(phi+2kpi) $ quindi la radice va modificata così ...
$ (cos(phi/n+(2kpi)/n) +isin(phi/n+(2kpi)/n))^n$
Attenzione: gli $n$ angoli cosi ottenuti (con $k$ che varia da $0$ a $n-1$) sono tutti diversi, o meglio, le funzioni trigonometriche sono diverse (perché è anche sempre vero che $alpha!=alpha+2pi$ ma $cos(alpha)=cos(alpha+2pi)$), iniziano a ripetersi da $n$ in poi ...
Se parti da qui ...
$ (cosvartheta +isinvartheta)^n=[cos(nvartheta)+isin(nvartheta)] $ e posto $ntheta=phi$ allora sarà ...
$ (cos(phi/n) +isin(phi/n))^n=[cos(phi)+isin(phi)] $, no?
L'incoveniente però è che $cos(phi)+isin(phi)=cos(phi+2kpi)+isin(phi+2kpi) $ quindi la radice va modificata così ...
$ (cos(phi/n+(2kpi)/n) +isin(phi/n+(2kpi)/n))^n$
Attenzione: gli $n$ angoli cosi ottenuti (con $k$ che varia da $0$ a $n-1$) sono tutti diversi, o meglio, le funzioni trigonometriche sono diverse (perché è anche sempre vero che $alpha!=alpha+2pi$ ma $cos(alpha)=cos(alpha+2pi)$), iniziano a ripetersi da $n$ in poi ...
ok direi di aver capito, grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo