Dimostrazione Formula del Gradiente

[DeSkyno18]

Salve a tutti, ho dei dubbi sulla dimostrazione della formula del gradiente e, cercando online, ho notato che la dimostrazione fatta dalla prof è diversa (forse più leggera?) ed è la seguente:

Consideriamo l'applicazione: $ t->(x+t\alpha,y+t\beta) $ tale che, per valori di $ t $ abbastanza piccoli, il punto appartiene ancora ad A poiché aperto. Considero la funzione composta:
$ F(t) = f(x+t\alpha,y+t\beta) $ con $ t\in(-\delta,\delta) $
Poiché $ f $ è differenziabile nel punto $ (x,y) $ per ipotesi, allora la derivata della funzione composta risulta:
$ F'(t) = f_x(x+t\alpha,y+t\beta)\cdot(x+t\alpha)'+f_y(x+t\alpha,y+t\beta)\cdot(y+t\beta)' $
Derivando $ x'(t) $ e $ y'(t) $ e facendo tendere $ t->0 $ si ottiene la formula.

Ora, per il teorema di derivazione delle funzioni composte, oltre la differenziabilità di $ f $ nel punto $ (x(t),y(t)) $, è richiesta la derivabilità di $ x(t) $ e $ y(t) $ in $ t $. Nella dimostrazione questo passaggio non c'è, oppure è sottinteso da altre proprietà più forti?

[otta96]

È scritta in modo un po' confuso ma mi pare che $x(t)=x+t\alpha$, che dici, è derivabile?

[DeSkyno18]

Si, la derivabilità di $ x(t) $ e $ y(t) $ è richiesta per poter utilizzare il teorema di derivazione di funzioni composte, ma nelle ipotesi (o per costruzione) non è presente questa proprietà, almeno così mi sembra

[otta96]

Ma è una funzione affine, dovresti capirlo se è derivabile o no.