Dimostrazione estremo superiore è il minimo dei maggioranti
Questo è tratto da una dispensa trovata in rete:
"Sia $S$ un sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R}$.
Un numero reale $a$ è l’estremo superiore di $S$ se e solo se
i) $a$ è un maggiorante di $S$
ii) per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $a − \varepsilon < s$.
Analogamente $a$ è l’estremo inferiore di $S$ se e solo se
i) $a$ è un minorante di $S$ e
ii) per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $s < a + \varepsilon$."
E fino a qui è tutto chiaro, una definizione che si studia anche al liceo, il problema sta nella dimostrazione:
"Sia $a$ = estr. superiore di $S$.
Se esistesse un $\varepsilon > 0$ tale che per ogni $s$ in $S$ si avesse $s \leq a−\varepsilon$, allora $a−\varepsilon$ sarebbe un maggiorante di $S$ minore di $a$. Questo contraddice il fatto che $a$ è il minimo dei maggioranti.
Dimostriamo che $a$ è il minimo dei maggioranti di $S$. Se $b < a$, posto $ \varepsilon = b − a > 0$, si avrebbe che esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $a − \varepsilon = b < s$. Pertanto $b$ non sarebbe un maggiorante di $S$.
La dimostrazione della caratterizzazione dell’estremo inferiore è simile."
Ok, quello che non mi torna è nella seconda parte della dimostrazione quando per dimostrare che $a$ è il minimo dei maggioranti di $S$ pone $b < a$ e poi $ \varepsilon = b − a > 0$, ma se $b < a$ come fa ad essere $ b - a > 0 $?
Grazie
"Sia $S$ un sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R}$.
Un numero reale $a$ è l’estremo superiore di $S$ se e solo se
i) $a$ è un maggiorante di $S$
ii) per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $a − \varepsilon < s$.
Analogamente $a$ è l’estremo inferiore di $S$ se e solo se
i) $a$ è un minorante di $S$ e
ii) per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $s < a + \varepsilon$."
E fino a qui è tutto chiaro, una definizione che si studia anche al liceo, il problema sta nella dimostrazione:
"Sia $a$ = estr. superiore di $S$.
Se esistesse un $\varepsilon > 0$ tale che per ogni $s$ in $S$ si avesse $s \leq a−\varepsilon$, allora $a−\varepsilon$ sarebbe un maggiorante di $S$ minore di $a$. Questo contraddice il fatto che $a$ è il minimo dei maggioranti.
Dimostriamo che $a$ è il minimo dei maggioranti di $S$. Se $b < a$, posto $ \varepsilon = b − a > 0$, si avrebbe che esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $a − \varepsilon = b < s$. Pertanto $b$ non sarebbe un maggiorante di $S$.
La dimostrazione della caratterizzazione dell’estremo inferiore è simile."
Ok, quello che non mi torna è nella seconda parte della dimostrazione quando per dimostrare che $a$ è il minimo dei maggioranti di $S$ pone $b < a$ e poi $ \varepsilon = b − a > 0$, ma se $b < a$ come fa ad essere $ b - a > 0 $?
Grazie
Risposte
@lucabro,
la dimostrazione l'hai letta sulla dispensa trovata in rete? Se si, posta il link!
Saluti
la dimostrazione l'hai letta sulla dispensa trovata in rete? Se si, posta il link!

Saluti
Ecco il link della dispensa in pdf:
http://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=7&cad=rja&uact=8&ved=0CGEQFjAG&url=http%3A%2F%2Fwww.dima.unige.it%2F~perelli%2FAnalisi-I%2FNumeri_reali.pdf&ei=AZcoU5XeGannygPQm4LQBA&usg=AFQjCNHNel_bRYD8qHFfcaNlmFtSY9s0Hw&sig2=qVhWJxF1bErMJ9XbcaX6rA&bvm=bv.62922401,d.bGQ
proposizione e dimostrazione stanno a pagina 14
http://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=7&cad=rja&uact=8&ved=0CGEQFjAG&url=http%3A%2F%2Fwww.dima.unige.it%2F~perelli%2FAnalisi-I%2FNumeri_reali.pdf&ei=AZcoU5XeGannygPQm4LQBA&usg=AFQjCNHNel_bRYD8qHFfcaNlmFtSY9s0Hw&sig2=qVhWJxF1bErMJ9XbcaX6rA&bvm=bv.62922401,d.bGQ
proposizione e dimostrazione stanno a pagina 14
nessuno?
Come subito si evince dal passaggio successivo, c'è un errore di battitura.
La posizione corretta è \(\varepsilon = a-b\).
La posizione corretta è \(\varepsilon = a-b\).
ah ok, grazie per la conferma allora