Dimostrazione estremo superiore è il minimo dei maggioranti

lucabro1 · 2014-03-18CET17:07:49+01:00

"Questo \u00e8 tratto da una dispensa trovata in rete:\n\n\"Sia $S$ un sottoinsieme non vuoto di $\\mathbb{R}$.\nUn numero reale $a$ \u00e8 l\u2019estremo superiore di $S$ se e solo se \ni) $a$ \u00e8 un maggiorante di $S$\nii) per ogni \u000f $\\varepsilon > 0$ esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $a \u2212 \\varepsilon\u000f < s$. \n\nAnalogamente $a$ \u00e8 l\u2019estremo inferiore di $S$ se e solo se \ni) $a$ \u00e8 un minorante di $S$ e \nii) per ogni \u000f $\\varepsilon > 0$ esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $s < a + \\varepsilon$\u000f.\"\n\nE fino a qui \u00e8 tutto chiaro, una definizione che si studia anche al liceo, il problema sta nella dimostrazione:\n\n\"Sia $a$ = estr. superiore di $S$. \nSe esistesse un \u000f$\\varepsilon > 0$ tale che per ogni $s$ in $S$ si avesse $s \\leq a\u2212\\varepsilon$, allora $a\u2212\\varepsilon$ sarebbe un maggiorante di $S$ minore di $a$. Questo contraddice il fatto che $a$ \u00e8 il minimo dei maggioranti.\n\nDimostriamo che $a$ \u00e8 il minimo dei maggioranti di $S$. Se $b < a$, posto $\u000f \\varepsilon = b \u2212 a > 0$, si avrebbe che esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $a \u2212\u000f \\varepsilon = b < s$. Pertanto $b$ non sarebbe un maggiorante di $S$.\n\nLa dimostrazione della caratterizzazione dell\u2019estremo inferiore \u00e8 simile.\"\n\nOk, quello che non mi torna \u00e8 nella seconda parte della dimostrazione quando per dimostrare che $a$ \u00e8 il minimo dei maggioranti di $S$ pone $b < a$ e poi $\u000f \\varepsilon = b \u2212 a > 0$, ma se $b < a$ come fa ad essere $ b - a > 0 $?\n\nGrazie"

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lucabro1

18 mar 2014, 17:07

Questo è tratto da una dispensa trovata in rete:

"Sia $S$ un sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R}$.
Un numero reale $a$ è l’estremo superiore di $S$ se e solo se
i) $a$ è un maggiorante di $S$
ii) per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $a − \varepsilon < s$.

Analogamente $a$ è l’estremo inferiore di $S$ se e solo se
i) $a$ è un minorante di $S$ e
ii) per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $s < a + \varepsilon$."

E fino a qui è tutto chiaro, una definizione che si studia anche al liceo, il problema sta nella dimostrazione:

"Sia $a$ = estr. superiore di $S$.
Se esistesse un $\varepsilon > 0$ tale che per ogni $s$ in $S$ si avesse $s \leq a−\varepsilon$, allora $a−\varepsilon$ sarebbe un maggiorante di $S$ minore di $a$. Questo contraddice il fatto che $a$ è il minimo dei maggioranti.

Dimostriamo che $a$ è il minimo dei maggioranti di $S$. Se $b < a$, posto $ \varepsilon = b − a > 0$, si avrebbe che esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $a − \varepsilon = b < s$. Pertanto $b$ non sarebbe un maggiorante di $S$.

La dimostrazione della caratterizzazione dell’estremo inferiore è simile."

Ok, quello che non mi torna è nella seconda parte della dimostrazione quando per dimostrare che $a$ è il minimo dei maggioranti di $S$ pone $b < a$ e poi $ \varepsilon = b − a > 0$, ma se $b < a$ come fa ad essere $ b - a > 0 $?

Grazie