Dimostrazione estremo superiore è il minimo dei maggioranti

lucabro1
Questo è tratto da una dispensa trovata in rete:

"Sia $S$ un sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R}$.
Un numero reale $a$ è l’estremo superiore di $S$ se e solo se
i) $a$ è un maggiorante di $S$
ii) per ogni  $\varepsilon > 0$ esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $a − \varepsilon < s$.

Analogamente $a$ è l’estremo inferiore di $S$ se e solo se
i) $a$ è un minorante di $S$ e
ii) per ogni  $\varepsilon > 0$ esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $s < a + \varepsilon$."

E fino a qui è tutto chiaro, una definizione che si studia anche al liceo, il problema sta nella dimostrazione:

"Sia $a$ = estr. superiore di $S$.
Se esistesse un $\varepsilon > 0$ tale che per ogni $s$ in $S$ si avesse $s \leq a−\varepsilon$, allora $a−\varepsilon$ sarebbe un maggiorante di $S$ minore di $a$. Questo contraddice il fatto che $a$ è il minimo dei maggioranti.

Dimostriamo che $a$ è il minimo dei maggioranti di $S$. Se $b < a$, posto $ \varepsilon = b − a > 0$, si avrebbe che esiste un elemento $s$ in $S$ tale che $a − \varepsilon = b < s$. Pertanto $b$ non sarebbe un maggiorante di $S$.

La dimostrazione della caratterizzazione dell’estremo inferiore è simile."

Ok, quello che non mi torna è nella seconda parte della dimostrazione quando per dimostrare che $a$ è il minimo dei maggioranti di $S$ pone $b < a$ e poi $ \varepsilon = b − a > 0$, ma se $b < a$ come fa ad essere $ b - a > 0 $?

Grazie

Risposte
garnak.olegovitc1
@lucabro,
la dimostrazione l'hai letta sulla dispensa trovata in rete? Se si, posta il link! :roll:
Saluti

lucabro1

lucabro1
nessuno?

gugo82
Come subito si evince dal passaggio successivo, c'è un errore di battitura.
La posizione corretta è \(\varepsilon = a-b\).

lucabro1
ah ok, grazie per la conferma allora

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