Dimostrazione estremo superiore

[visind]

Ciao ragazzi. Ho un piccolo dubbio per quanto riguarda la dimostrazione dell'esistenza dell'estremo superirore.

Dim:
$[a,b)$

sup $[a,b) = b$

supponendo $b$ maggiornante, $b-epsilon$ ancora maggiorante.

$b-epsilonb-\epsilon$ ma $< b$

Mie conclusioni:
Dunque possiamo dire che $[a,b)$ è limitato superiormente, $b$ è maggiorante ed estremo superiore ma non è il massimo? Giusto?
Se è considerato estremo superiore, perchè nella definizione di estremo superiore (dove ad esempio $S$ è l'estremo superiore) è imposto che per ogni $epsilon>0$, $S-epsilon$ non è più maggiorante?

[Fioravante Patrone1]

[mod="Fioravante Patrone"]NB: ho modificato una tua formula perché risultava incomprensibile.[/mod]

Il fatto è che b meno epsilon non è un maggiorante...

[visind]

Ah, quindi con quella dimostrazione, supponiamo che b meno epsilon sia ancora un maggiorante, ma dimostriamo che in realtà non lo è?

[Paolo902]

Sì, in pratica sì.

Sai che il sup E è definito come il minimo dei maggioranti di $E$ ($E$ insieme ordinato qualsiasi, in questo caso $E subseteq R$). In pratica, tu vuoi far vedere che $b$ è il minimo dei maggioranti. Come fai? Semplice: per assurdo, supponi che $b$ non sia il min dei maggioranti: questo significa che allora esiste un $epsilon >0$ tale che $b-epsilon$ è ancora maggiorante. Tu però fai vedere che esiste almeno un $x in E$ tale per cui $x>b-epsilon$. Questo ti basta per concludere che $b$ deve essere il minimo dei maggioranti, cioè il sup E.

Chiaro?

[visind]

Si. Chiarissimo! Ti ringrazio!

[Paolo902]

Figurati, di nulla.