Dimostrazione esponenziali

[grely]

Buongiorno, come si dimostra che non esiste numero razionale tale che 2 elevato alla x dia come risultato 10?un problema mi chiede di dimostrarlo ma non so come. Potete darmi una mano? Grazie mille

[mc2]

[math]2^x=10[/math]

bisogna dimostrare che x e` irrazionale.

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che x sia razionale, cioe` che sia

[math]x=\frac{m}{n}[/math]

, con

[math]m[/math]

ed

[math]n[/math]

numeri interi.

[math]2^{m/n}=10[/math]

[math]2^m=10^n=(2\cdot 5)^n[/math]

[math]2^{m-n}=5^n[/math]

e questa uguaglianza e` impossibile (riesci a dimostrare questo?).