Dimostrazione esistenza limite successione
Buonasera a tutti 
Sono alle prese con gli ultimi esercizi rimasti che il prof. di Analisi ci ha lasciato da fare per darci la possibilità di saltare lo scritto, idea che mi allieta alquanto
Me ne rimangono mezza dozzina, ma per molti qualche idea per risolverli ce l'ho e voglio aspettare per lanciare il salvagente.
Al contrario, con questo non so proprio come uscirne
Testo:
Sia \(\displaystyle (a_n) \) una successione limitata e \(\displaystyle (b_n) \) tale che:
\(\displaystyle 0 < b_n \leq \frac{1}{2} b_{n-1} \)
Dimostrare che se:
\(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n - b_n \)
allora la successione \(\displaystyle (a_n) \) ammette limite.
Idee:
Sono alle prese con gli ultimi esercizi rimasti che il prof. di Analisi ci ha lasciato da fare per darci la possibilità di saltare lo scritto, idea che mi allieta alquanto
Me ne rimangono mezza dozzina, ma per molti qualche idea per risolverli ce l'ho e voglio aspettare per lanciare il salvagente.
Al contrario, con questo non so proprio come uscirne
Testo:
Sia \(\displaystyle (a_n) \) una successione limitata e \(\displaystyle (b_n) \) tale che:
\(\displaystyle 0 < b_n \leq \frac{1}{2} b_{n-1} \)
Dimostrare che se:
\(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n - b_n \)
allora la successione \(\displaystyle (a_n) \) ammette limite.
Idee:
Risposte
Mmmm, la butto lì perché l'ora e tarda e non ho fatto i conti per bene, ma io direi che puoi fare due cose:
1) cercare di esplicitare meglio quella condizione sulla successione $\{b_n\}$;
2) usando questa cosa, cercare di far vedere come è limitata la differenza $a_n-a_{n+1}$ e da lì verificare che $\{a_n\}$ è di Cauchy.
Ma, ripeto, magari è tutto sbagliato o troppo complicato e c'è un metodo migliore.
1) cercare di esplicitare meglio quella condizione sulla successione $\{b_n\}$;
2) usando questa cosa, cercare di far vedere come è limitata la differenza $a_n-a_{n+1}$ e da lì verificare che $\{a_n\}$ è di Cauchy.
Ma, ripeto, magari è tutto sbagliato o troppo complicato e c'è un metodo migliore.
Allora.. sono riuscito ad andare un po' avanti (forse).
Se \(\displaystyle 0 < b_n \leq \frac{1}{2} b_{n-1} \) vale anche
\(\displaystyle b_{n+1} \leq \frac{1}{2} b_n \leq b_n \)
Quindi \(\displaystyle b_n \) è monotona decrescente, ovvero
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} b_n = \inf b_n \).
Sapendo quindi che \(\displaystyle b_n > 0 \) possiamo affermare che \(\displaystyle b_n \to 0 \)
Ora, sapendo che \(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n - b_n \) e quindi
\(\displaystyle a_n - a_{n+1} \leq b_n \) se passiamo al limite per n che tende a +infinito dato che
il secondo membro tende a zero anche il primo lo farà e quindi ho dimostrato che
\(\displaystyle a_n - a_{n+1} \) tende a zero per n molto grande e quindi la successione è di Cauchy,
e quindi converge.
Ok, quanti errori sono riuscito a totalizzare in 20 righe?
Se \(\displaystyle 0 < b_n \leq \frac{1}{2} b_{n-1} \) vale anche
\(\displaystyle b_{n+1} \leq \frac{1}{2} b_n \leq b_n \)
Quindi \(\displaystyle b_n \) è monotona decrescente, ovvero
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} b_n = \inf b_n \).
Sapendo quindi che \(\displaystyle b_n > 0 \) possiamo affermare che \(\displaystyle b_n \to 0 \)
Ora, sapendo che \(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n - b_n \) e quindi
\(\displaystyle a_n - a_{n+1} \leq b_n \) se passiamo al limite per n che tende a +infinito dato che
il secondo membro tende a zero anche il primo lo farà e quindi ho dimostrato che
\(\displaystyle a_n - a_{n+1} \) tende a zero per n molto grande e quindi la successione è di Cauchy,
e quindi converge.
Ok, quanti errori sono riuscito a totalizzare in 20 righe?
"joined":
Allora.. sono riuscito ad andare un po' avanti (forse).
Se \(\displaystyle 0 < b_n \leq \frac{1}{2} b_{n-1} \) vale anche
\(\displaystyle b_{n+1} \leq \frac{1}{2} b_n \leq b_n \)
Quindi \(\displaystyle b_n \) è monotona decrescente, ovvero
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} b_n = \inf b_n \).
Sapendo quindi che \(\displaystyle b_n > 0 \) possiamo affermare che \(\displaystyle b_n \to 0 \)
Ok.
Ora, sapendo che \(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n - b_n \) e quindi
\(\displaystyle a_n - a_{n+1} \leq b_n \) se passiamo al limite per n che tende a +infinito dato che
il secondo membro tende a zero anche il primo lo farà...
No. Non sai che \(0\leq a_n - a_{n+1}\); se tu lo sapessi avresti già finito, dal momento che una successione limitata e monotona ammette limite finito.
Ti consiglio di provare a vedere se riesci a costruire, a partire da \((a_n)\) e \((b_n)\), una successione che sia monotona, sfruttando la condizione data (non è difficile).
Ci provo.. considerando
\(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n - b_n \)
visto che \(\displaystyle b_n \) va a 0 per n sufficientemente grandi,
non vale
\(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n \)
e quindi \(\displaystyle a_n \) è monotona crescente e ammette limite?
\(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n - b_n \)
visto che \(\displaystyle b_n \) va a 0 per n sufficientemente grandi,
non vale
\(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n \)
e quindi \(\displaystyle a_n \) è monotona crescente e ammette limite?
No. La "monotonia a meno di un pezzetto" non basta.
Come ti ho suggerito, dovresti provare a costruire una nuova successione, a partire da quelle date, che sia monotona.
Come ti ho suggerito, dovresti provare a costruire una nuova successione, a partire da quelle date, che sia monotona.
Sto cercando di capire che successione devo costruire in base a come potrei dimostrare la sua monotonia ed a sfruttarla per dimostrare poi che \(\displaystyle (a_n) \) ammette limite ma niente! Accidenti..
Beh, sai che \(a_{n+1}\geq a_n -b_n\) e che \(b_n\) si dimezza (almeno) ad ogni passo. E' abbastanza evidente che una successione del tipo \(c_n = a_n -\lambda\, b_n\), con \(\lambda\) opportuno, debba essere monotona...
Saresti così gentile da spiegare a uno che non riesce a vedere neanche l'evidenza il perchè \(\displaystyle (c_n) \) è monotona?
Mentre per dimostrare che \(\displaystyle (a_n) \) ha limite basta dire che \(\displaystyle a_n = c_n + \lambda \cdot b_n \) e quindi essendo combinazione lineare di successioni che ammettono limite, a sua volta ammette limite?
Non ci capisco più niente
Mentre per dimostrare che \(\displaystyle (a_n) \) ha limite basta dire che \(\displaystyle a_n = c_n + \lambda \cdot b_n \) e quindi essendo combinazione lineare di successioni che ammettono limite, a sua volta ammette limite?
Non ci capisco più niente
"joined":
Saresti così gentile da spiegare a uno che non riesce a vedere neanche l'evidenza il perchè \(\displaystyle (c_n) \) è monotona?
Vabbé, non è fondamentale vederlo a priori (una volta risolto l'esercizio forse la cosa diventerà più chiara).
Semplicemente, scrivi la condizione di monotonia per \(c_n\), usa le condizioni che hai, e vedi se riesci a determinare un valore opportuno di \(\lambda\) che sia compatibile con tutte queste condizioni.
Mentre per dimostrare che \(\displaystyle (a_n) \) ha limite basta dire che \(\displaystyle a_n = c_n + \lambda \cdot b_n \) e quindi essendo combinazione lineare di successioni che ammettono limite, a sua volta ammette limite?
Esatto. Una volta che riesci a dimostrare che \(c_n\) è convergente, segue subito che anche \(a_n\) lo è (ed il limite è lo stesso, visto che \(b_n\to 0\)).
Ci provo.
\(\displaystyle a_{n+1} - b_{n+1} \geq a_n - b_n \)
\(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n + b_{n+1} - b_n \geq a_n - b_n \) (visto che \(\displaystyle b_n > 0 \))
compatibile con le condizioni del problema.
Quindi \(\displaystyle (c_n) \) è monotona crescente. Manca solo di provare che sia limitata per la convergenza.
Sbaglio?
\(\displaystyle a_{n+1} - b_{n+1} \geq a_n - b_n \)
\(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n + b_{n+1} - b_n \geq a_n - b_n \) (visto che \(\displaystyle b_n > 0 \))
compatibile con le condizioni del problema.
Quindi \(\displaystyle (c_n) \) è monotona crescente. Manca solo di provare che sia limitata per la convergenza.
Sbaglio?
Non hai detto chi è \(c_n\); sembrerebbe essere, da quel che scrivi, \(c_n = a_{n+1} - b_{n+1}\), ma in tal caso
\[
c_{n+1} = a_{n+1} - b_{n+1} \geq a_n - b_n - b_{n+1} \geq a_n - b_n - \frac{1}{2} b_n = a_n - \frac{3}{2} b_n.
\]
A ultimo membro dovresti invece ottenere \(c_n\).
\[
c_{n+1} = a_{n+1} - b_{n+1} \geq a_n - b_n - b_{n+1} \geq a_n - b_n - \frac{1}{2} b_n = a_n - \frac{3}{2} b_n.
\]
A ultimo membro dovresti invece ottenere \(c_n\).
No, \(\displaystyle c_n = a_n - b_n \).
Provo a dimostrare che \(\displaystyle c_{n+1} \geq c_n \) quindi
\(\displaystyle a_{n+1} - b_{n+1} \geq a_n - b_n \Rightarrow a_{n+1} \geq a_n - b_n + b_{n+1} \) (porto \(\displaystyle b_{n+1} \) a destra)
Siccome \(\displaystyle b_n >0 \) posso eliminare \(\displaystyle b_{n+1} \) minorando come segue
\(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n - b_n \)
che è vera per ipotesi.
Provo a dimostrare che \(\displaystyle c_{n+1} \geq c_n \) quindi
\(\displaystyle a_{n+1} - b_{n+1} \geq a_n - b_n \Rightarrow a_{n+1} \geq a_n - b_n + b_{n+1} \) (porto \(\displaystyle b_{n+1} \) a destra)
Siccome \(\displaystyle b_n >0 \) posso eliminare \(\displaystyle b_{n+1} \) minorando come segue
\(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n - b_n \)
che è vera per ipotesi.
"joined":
No, \(\displaystyle c_n = a_n - b_n \).
Certo; ho scritto l'indice sbagliato (comunque non cambia niente).
Provo a dimostrare che \(\displaystyle c_{n+1} \geq c_n \) quindi
\(\displaystyle a_{n+1} - b_{n+1} \geq a_n - b_n \Rightarrow a_{n+1} \geq a_n - b_n + b_{n+1} \) (porto \(\displaystyle b_{n+1} \) a destra)
Siccome \(\displaystyle b_n >0 \) posso eliminare \(\displaystyle b_{n+1} \) minorando come segue
\(\displaystyle a_{n+1} \geq a_n - b_n \)
che è vera per ipotesi.
No; se vale la disuguaglianza \(a_{n+1}\geq a_n-b_n+b_{n+1}\), allora sicuramente vale anche \(a_{n+1}\geq a_n-b_n\) (poiché \(b_{n+1}\geq 0\)), ma il viceversa (che è quanto tu affermi) non è necessariamente vero.
Allora.. riprendo il tuo ragionamento di prima ma con \(\displaystyle \lambda = \frac{2}{3} \),
quindi \(\displaystyle c_n = a_n - \frac{2}{3} b_n \)
\(\displaystyle c_{n+1} = a_{n+1} - \frac{2}{3} b_{n+1} \geq a_n - \frac{2}{3} b_n - \frac{2}{3} b_{n+1} \geq a_n - \frac{2}{3} b_n - \frac{1}{3} b_n = a_n - \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right) b_n = a_n - b_n = c_n \)
E' la volta buona forse?
quindi \(\displaystyle c_n = a_n - \frac{2}{3} b_n \)
\(\displaystyle c_{n+1} = a_{n+1} - \frac{2}{3} b_{n+1} \geq a_n - \frac{2}{3} b_n - \frac{2}{3} b_{n+1} \geq a_n - \frac{2}{3} b_n - \frac{1}{3} b_n = a_n - \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right) b_n = a_n - b_n = c_n \)
E' la volta buona forse?
Eh no, guarda come hai definito \(c_n\) e l'ultima uguaglianza che hai scritto!
Se vuoi un consiglio, lascia \(\lambda\) generico, e cerca solo alla fine qual è il valore che conviene dargli.
Se vuoi un consiglio, lascia \(\lambda\) generico, e cerca solo alla fine qual è il valore che conviene dargli.
Ce la posso fare..
\(\displaystyle c_n = a_n - \lambda \cdot b_n \)
\(\displaystyle c_{n+1} = a_{n+1} - \lambda \cdot b_{n+1} \geq a_n - \lambda \cdot b_n - \lambda \cdot b_{n+1} \geq a_n - \lambda \cdot b_n - \frac{\lambda}{2} b_n = a_n - \left(\lambda + \frac{\lambda}{2} \right) b_n = a_n - \frac{3}{2} \lambda \cdot b_n \)
Quindi \(\displaystyle \frac{3}{2} \lambda = \lambda \). Ok mi arrendo.. non ci sto capendo più niente.
Grazie del tentativo di farmi capire
\(\displaystyle c_n = a_n - \lambda \cdot b_n \)
\(\displaystyle c_{n+1} = a_{n+1} - \lambda \cdot b_{n+1} \geq a_n - \lambda \cdot b_n - \lambda \cdot b_{n+1} \geq a_n - \lambda \cdot b_n - \frac{\lambda}{2} b_n = a_n - \left(\lambda + \frac{\lambda}{2} \right) b_n = a_n - \frac{3}{2} \lambda \cdot b_n \)
Quindi \(\displaystyle \frac{3}{2} \lambda = \lambda \). Ok mi arrendo.. non ci sto capendo più niente.
Grazie del tentativo di farmi capire
"joined":
Ce la posso fare..
\(\displaystyle c_n = a_n - \lambda \cdot b_n \)
\(\displaystyle c_{n+1} = a_{n+1} - \lambda \cdot b_{n+1} \geq a_n - \lambda \cdot b_n - \lambda \cdot b_{n+1} \geq a_n - \lambda \cdot b_n - \frac{\lambda}{2} b_n = a_n - \left(\lambda + \frac{\lambda}{2} \right) b_n = a_n - \frac{3}{2} \lambda \cdot b_n \)
Quindi \(\displaystyle \frac{3}{2} \lambda = \lambda \). Ok mi arrendo.. non ci sto capendo più niente.
Ma basta scrivere le cose per bene:
\[
c_{n+1} := a_{n+1} - \lambda b_{n+1} \geq a_n - b_n -\lambda\, \frac{1}{2}\, b_n = a_n - \left(1+\frac{\lambda}{2}\right) b_n.
\]
Domanda: puoi scegliere \(\lambda\) in modo tale che l'ultimo membro di questa catena sia proprio \(c_n\)?
Allora
\(\displaystyle c_n := a_n - \lambda b_n \)
devo fare in modo che
\(\displaystyle a_n - \left( 1+ \frac{\lambda}{2} \right) b_n = a_n - \lambda b_n \)
quindi
\(\displaystyle 1+\frac{\lambda}{2} = \lambda \)
ovvero \(\displaystyle \lambda = 2 \)
Ricapitolando:
\(\displaystyle c_n = a_n - 2 b_n \)
\(\displaystyle c_{n+1} := a_{n+1} - 2 b_{n+1} \geq a_n - b_n - 2 b_{n+1} \geq a_n - b_n - b_n = a_n - 2 b_n = c_n \)
EUREKA! Grazie mille. Un suggerimento per dimostrare che è limitata?
\(\displaystyle c_n := a_n - \lambda b_n \)
devo fare in modo che
\(\displaystyle a_n - \left( 1+ \frac{\lambda}{2} \right) b_n = a_n - \lambda b_n \)
quindi
\(\displaystyle 1+\frac{\lambda}{2} = \lambda \)
ovvero \(\displaystyle \lambda = 2 \)
Ricapitolando:
\(\displaystyle c_n = a_n - 2 b_n \)
\(\displaystyle c_{n+1} := a_{n+1} - 2 b_{n+1} \geq a_n - b_n - 2 b_{n+1} \geq a_n - b_n - b_n = a_n - 2 b_n = c_n \)
EUREKA! Grazie mille. Un suggerimento per dimostrare che è limitata?
La somma (o differenza) di successioni limitate come sarà?
Limitata. Grazie ancora.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo