Dimostrazione esercizio calcolo differenziale
Salve a tutti, mi scuso in anticipo per qualche eventuale errore, devo risolvere questo esercizio:
Dimostrare che l'equazione
$x=\epsilon\sin(x)\+lambda$
ha esattamente una soluzione per ogni $lambda$ $in$ $RR$ e per ogni $epsilon$ $in$ (0,1).
il mio dubbio è se in questi casi è possibile derivare per dimostrare il problema... ma non sono sicuro sia la strada giusta.
Vi chiedo gentilmente un aiuto, grazie mille!!
Dimostrare che l'equazione
$x=\epsilon\sin(x)\+lambda$
ha esattamente una soluzione per ogni $lambda$ $in$ $RR$ e per ogni $epsilon$ $in$ (0,1).
il mio dubbio è se in questi casi è possibile derivare per dimostrare il problema... ma non sono sicuro sia la strada giusta.
Vi chiedo gentilmente un aiuto, grazie mille!!
Risposte
l'equazione data è ovviamente equivalente alla seguente
$epsilonsinx-x-lambda=0$
consideriamo la funzione $f(x)=epsilonsinx-x+lambda$
$ lim_(x -> -infty) f(x)=+infty $
$ lim_(x -> +infty) f(x)=-infty $
$f'(x)=epsiloncosx-1$
$f'(x)<0,forall x$
quindi,la funzione è strettamente decrescente,il che implica che il grafico della funzione interseca l'asse delle x in un solo punto
$epsilonsinx-x-lambda=0$
consideriamo la funzione $f(x)=epsilonsinx-x+lambda$
$ lim_(x -> -infty) f(x)=+infty $
$ lim_(x -> +infty) f(x)=-infty $
$f'(x)=epsiloncosx-1$
$f'(x)<0,forall x$
quindi,la funzione è strettamente decrescente,il che implica che il grafico della funzione interseca l'asse delle x in un solo punto
Grazie mille stormy
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