Dimostrazione equivalenza asintotica

[Riccardo Desimini]

Voglio dimostrare attraverso il simbolo di "o piccolo" che, per \( x \to 0 \),
\[ x + \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) \sim x \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) \]
Procedo così: essendo
\[ x= x + o(x) \qquad \text{e} \qquad \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) = \frac{x}{e^x} + o \left ( \frac{x}{e^x} \right ) \]
si ha
\[ x + \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) = x + \frac{x}{e^x} + o(x) + \frac{1}{e^x}\, o(x) \]
Ma da qui non so più come continuare.

Chi mi aiuta?

[gugo82]

"Riccardo Desimini":Voglio dimostrare attraverso il simbolo di "o piccolo" che, per \( x \to 0 \),
\[ x + \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) \sim x \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) \]
Procedo così: essendo
\[ x= x + o(x) \qquad \text{e} \qquad \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) = \frac{x}{e^x} + o \left ( \frac{x}{e^x} \right ) \]
si ha
\[ x + \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) = x + \frac{x}{e^x} + o(x) + \frac{1}{e^x}\, o(x) \]
Ma da qui non so più come continuare.

Chi mi aiuta?

Beh, per \(x\to 0\) hai:
\[
\begin{split}
x + \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) &= x + \frac{x}{e^x} + \operatorname{o}(x) + \frac{1}{e^x}\ \operatorname{o}(x)\\
&= x\ \left( 1+ \frac{1}{e^x}\right) + \left( 1 + \frac{1}{e^x}\right)\ \operatorname{o}(x)\\
&= x\ \left( 1+ \frac{1}{e^x}\right) + \operatorname{o}(x)\\
&= x\ \left( 1+ \frac{1}{e^x}\right)\ \big( 1+ \operatorname{o}(x)\big)
\end{split}
\]
e quindi, per definizione, hai:
\[
x + \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) \approx x\ \left( 1+ \frac{1}{e^x}\right)\; .
\]

[oMBRa-]

Scusate ragazzi secondo me non è corretto dire che [tex]x \sim x + o(x) \ per \ x \rightarrow0[/tex]

se poi facciamo [tex]lim \ x\rightarrow0 \ \ \frac{x + \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right )}{ x\left( 1 + \frac{x}{e^x} \right )}[/tex] fa 2 non 1, quindi la definizione di o piccolo non è rispettata, l'asintotico giusto secondo me è [tex]x\left( 1 + \frac{1}{e^x} \right )[/tex]

[gugo82]

"DGauss":Scusate ragazzi secondo me non è corretto dire che [tex]x \sim x + o(x) \ per \ x \rightarrow0[/tex]

A parte che è corretto, anche se non ti piace come passaggio esso non gioca nessun ruolo nel ragionamento; quindi puoi eliminarlo.

"DGauss":se poi facciamo [tex]lim \ x\rightarrow0 \ \ \frac{x + \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right )}{ x\left( 1 + \frac{x}{e^x} \right )}[/tex] fa 2 non 1, quindi la definizione di o piccolo non è rispettata, l'asintotico giusto secondo me è [tex]x\left( 1 + \frac{1}{e^x} \right )[/tex]

Certo, ho messo in evidenza a casaccio nei passaggi.
La conclusione è:
\[
x + \ln \left ( 1 + \frac{x}{e^x} \right ) \approx x \left ( 1 + \frac{1}{e^x} \right ) \approx 2x\; .
\]

[Riccardo Desimini]

Perfetto, grazie.