Dimostrazione: equazione caratteristica con radici reali e coincidenti
Salve a tutti. Sappiamo che un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine è detta omogenea quando si presenta nella forma
$ Ay'' + By' + Cy = 0 $
Con $A, B, C$ costanti. Nella risoluzione dell'equazione, si cercano soluzioni nella forma
$y = e^{rx}$
le cui derivate prima e seconda sono uguali rispettivamente a
$y' = re^{rx}$ e $y'' = r^{2}e^{rx}$
Sostituendo questi valori nell'equazione di partenza
$ A r^{2}e^{rx} + B re^{rx} + C e^{rx} = 0 $
raccogliendo a fattor comune
$ e^{rx}(A r^{2} + B r + C) = 0 $
L'equazione fra parentesi è un'equazione di secondo grado e prende il nome di equazione caratteristica, e si possono presentare tre casi, uno fra questi è che le radici siano reali e coincidenti. Sappiamo che la soluzione generale deve avere la forma
$ y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}$
Nel caso di $r_{1} = r_{2}$, una soluzione è sicuramente
$y_{1} = C_{1}e^{rx}$
A questo punto, si deve costruire una seconda soluzione linearmente indipendente dalla prima, che avrà la forma
$y_{2} = C_{2}xe^{rx}$
Il nostro docente ha chiesto di dimostrare che anche $y_{2} = xe^{rx}$ soddisfa l'equazione caratteristica, ma non saprei da dove partire. Sapreste darmi qualche spunto?
Grazie in anticipo
$ Ay'' + By' + Cy = 0 $
Con $A, B, C$ costanti. Nella risoluzione dell'equazione, si cercano soluzioni nella forma
$y = e^{rx}$
le cui derivate prima e seconda sono uguali rispettivamente a
$y' = re^{rx}$ e $y'' = r^{2}e^{rx}$
Sostituendo questi valori nell'equazione di partenza
$ A r^{2}e^{rx} + B re^{rx} + C e^{rx} = 0 $
raccogliendo a fattor comune
$ e^{rx}(A r^{2} + B r + C) = 0 $
L'equazione fra parentesi è un'equazione di secondo grado e prende il nome di equazione caratteristica, e si possono presentare tre casi, uno fra questi è che le radici siano reali e coincidenti. Sappiamo che la soluzione generale deve avere la forma
$ y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}$
Nel caso di $r_{1} = r_{2}$, una soluzione è sicuramente
$y_{1} = C_{1}e^{rx}$
A questo punto, si deve costruire una seconda soluzione linearmente indipendente dalla prima, che avrà la forma
$y_{2} = C_{2}xe^{rx}$
Il nostro docente ha chiesto di dimostrare che anche $y_{2} = xe^{rx}$ soddisfa l'equazione caratteristica, ma non saprei da dove partire. Sapreste darmi qualche spunto?
Grazie in anticipo
Risposte
Beh, è molto semplice: basta calcolare esplicitamente \(y_2^\prime\) ed \(y_2^{\prime\prime}\), sostituire quanto trovato nell'equazione e vedere cosa succede. 
@Mimic: Hai scritto tutto questo, sei perfettamente in grado di concludere. Rifai il ragionamento con \(xe^{rx}\) in luogo di \(e^{rx}\).
$y' = e^{rx} (1 + rx)$
$y'' = re^{rx} (2 + rx)$
sostituisco
$A[re^{rx} (2 + rx)] + B[e^{rx} (1 + rx)] + C[xe^{rx}] = 0$
raccolgo a fattor comune
$e^{rx} { A[r(2 + rx)] + B[(1 + rx)] + C[x]} = 0$
E da questo punto in poi mi perdo
$y'' = re^{rx} (2 + rx)$
sostituisco
$A[re^{rx} (2 + rx)] + B[e^{rx} (1 + rx)] + C[xe^{rx}] = 0$
raccolgo a fattor comune
$e^{rx} { A[r(2 + rx)] + B[(1 + rx)] + C[x]} = 0$
E da questo punto in poi mi perdo
Due cose:
[*:3er4cjn5] Sommare i polinomi non è mica un crimine...
[/*:m:3er4cjn5]
[*:3er4cjn5] Tieni presente che $r$ è una radice con molteplicità $2$ se è solo se esso annulla contemporaneamente il polinomio caratteristico e la sua derivata prima.[/*:m:3er4cjn5][/list:u:3er4cjn5]
Non ho trovato polinomi simili, è per questo che non gli ho sommati. Se ci sono, me li potresti far notare?
Comunque sia, questo è il mio tentativo:
$ e^{rx} { A[r(2 + rx)] + B[(1 + rx)] + C[x] } = 0 $
$ e^{rx} { A[ 2r + r^{2}x] + B[(1 + rx)] + C[x] } = 0 $
$ e^{rx} ( A2r + Ar^{2}x + B + Brx + Cx ) = 0 $
metto in evidenza la x
$ e^{rx} [ x(Ar^{2} + Br + C) + (A2r + B) ] = 0 $
$Ar^{2} + Br + C$ è il polinomio caratteristico, mentre $A2r + B$ è la sua derivata prima giusto?
Comunque sia, questo è il mio tentativo:
$ e^{rx} { A[r(2 + rx)] + B[(1 + rx)] + C[x] } = 0 $
$ e^{rx} { A[ 2r + r^{2}x] + B[(1 + rx)] + C[x] } = 0 $
$ e^{rx} ( A2r + Ar^{2}x + B + Brx + Cx ) = 0 $
metto in evidenza la x
$ e^{rx} [ x(Ar^{2} + Br + C) + (A2r + B) ] = 0 $
$Ar^{2} + Br + C$ è il polinomio caratteristico, mentre $A2r + B$ è la sua derivata prima giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo