Dimostrazione Equ. Differenziale Lineare Omogenea

[adry105]

Dovrei fare questa specie di dimostrazione.. Solo che in teoria non so come dimostrararla :D Ciampax helps me, please.. thanks :)

http://img42.imageshack.us/i/scansionedigitalizzata3.jpg/

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Sperando di aver capito qualcosa: http://img225.imageshack.us/f/scansionedigitalizzata4.jpg/

.Poi volevo chiederti quando ho scritto la derivata n-k della funzione y1 e ho messo (n-k) tra parentesi tonde, è la scrittura corretta? ps scrivendo la derivata come l'hai scritta tu non so perchè ma è più facile da dimostrare :) eeee Grazie milleeee come sempre!

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Ps l'ho modificata un pò, perchè la mia professore scrive una equazione differenziale in quel modo, e poi ho rifatto un pò tutto per vedere se avevo capito bene =O Grazie! :) Ps giorno 21 ho il primo appello di analisi II =O ps lei sta ancora spiegando giustamente! (ingiustamente!! :D) e grazie :P

[ciampax]

Indichiamo per semplicità con

[math]L=\sum_{k=0}^n a_k(x)\frac{d^k}{dx^k}[/math]

l'operatore associato alla equazione differenziale lineare. Per cui l'equazione assume la forma

[math]Ly=0[/math]

. Siano

[math]y_1,\ y_2[/math]

due soluzioni dell'equazione e sia

[math]u=\alpha y_1+\beta y_2[/math]

una loro qualsiasi combinazione lineare con

[math]\alpha,\ \beta\in\mathbb{R}[/math]

. Poiché

[math]\frac{d^k u}{dx^k}=\frac{d^k}{dx^k}(\alpha y_1+\beta y_2)=\alpha\frac{d^k y_1}{dx^k}+\beta\frac{d^k y_2}{dx^k}[/math]

per la linearità della derivata, si ha

[math]Lu=\sum_{k=0}^n a_k(x)\frac{d^k u}{dx^k}=\sum_{k=0}^n a_k(x)\left[\alpha\frac{d^k y_1}{dx^k}+\beta\frac{d^k y_2}{dx^k}\right]=[/math]

[math]=\alpha\sum_{k=0}^n a_k(x)\frac{d^k y_1}{dx^k}+\beta\sum_{k=0}^n a_k(x)\frac{d^k y_2}{dx^k}=\alpha Ly_1+\beta Ly_2=0[/math]

e quindi

[math]u[/math]

è soluzione dell'equazione data.