Dimostrazione ed enunciato teorema continuità di funzioni monotone

[matteoorlandini]

Ciao a tutti, vorrei sapere se il seguente enunciato è esatto. Sia $f : I -> R$ monotona ed I un intervallo. Allora $f$ è continua $hArr$ $f(I)$ è un intervallo. Se possibile vi chiederei anche la dimostrazione. Grazie infinite.

[gugo82]

Sì.

Ovviamente l'implicazione $\Rightarrow$ è il Teorema di Bolzano.
Per l'implicazione $\Leftarrow$, supponi per assurdo che $f$ sia discontinua in un $x_0$ interno ad $I$ e mostra che ciò implica necessariamente che $f(I)$ non è un intervallo.

[matteoorlandini]

"gugo82":
l'implicazione $\Rightarrow$ è il Teorema di Bolzano.

scusami ma il Teorema di Bolzano non è il teorema degli zeri? Se sì, come procedo?

[gugo82]

Con Teorema di Bolzano io intendo quello detto dei valori intermedi, i.e. il seguente:

Siano $I\subseteq \RR$ un intervallo non vuoto ed $f:I\to \RR$ una funzione.
Se $f$ è continua in $I$, allora $f$ assume tutti i valori compresi tra \(\inf_I f\) e \(\sup_I f\); quindi $f(I)$ è un intervallo.

Quindi l'implicazione $\Rightarrow$ si riduce essenzialmente a questo risultato più generale.

L'implicazione $\Leftarrow$ è un po' più riposta.

Innanzitutto, scegliamo $x_0$ interno ad $I$ e supponiamo, per assurdo, che $f$ non sia continua in $x_0$. Visto che $f$ è monotòna e definita in $x_0$, abbiamo sicuramente:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0^-} f(x) =\sup_{xx_0} f(x) = \lim_{x\to x_0^+} f(x) &\qquad \text{, se $f$ è crescente}\\
\lim_{x\to x_0^-} f(x) =\inf_{xx_0} f(x) = \lim_{x\to x_0^+} f(x) &\qquad \text{, se $f$ è decrescente}
\end{split}
\]
cosicché i limiti sinistro e destro di $f$ in $x_0$ esistono entrambi finiti e dunque, nell'ipotesi dell'assurdo, la $f$ ha in $x_0$ una discontinuità di salto.
Detti \(f_- (x_0)\) ed $f_+(x_0)$ tali limiti, risulta evidentemente:
\[
\begin{split}
\inf_I f \leq f_- (x_0) < f_+(x_0) \leq \sup_I f &\qquad \text{, se $f$ è crescente}\\
\inf_I f \leq f_+(x_0) < f_- (x_0) \leq \sup_I f &\qquad \text{, se $f$ è decrescente}\; ,
\end{split}
\]
ergo in ogni caso l'intervallo aperto di estremi \(f_- (x_0)\) ed $f_+(x_0)$ dovrebbe essere contenuto in $f(I)$ (che è un intervallo -per ipotesi del teorema- e dunque contiene ogni intervallo che ha per estremi due suoi elementi[nota]Questa è la cosiddetta proprietà di connessione degli intervalli.[/nota]). Quindi per ogni $\lambda\ne f(x_0)$ appartenente all'intervallo aperto di estremi \(f_- (x_0)\) ed $f_+(x_0)$ esiste almeno un $x_\lambda \in I\setminus \{x_0\}$ tale che $\lambda =f(x_\lambda)$.

Ma ciò è assurdo: infatti, se fosse $x_\lambda \[
\begin{split}
\lambda =f(x_\lambda) \leq \sup_{x \lambda =f(x_\lambda) \geq \inf_{x \end{split}
\]
mentre se fosse $x_\lambda >x_0$, dovrebbe risultare:
\[
\begin{split}
\lambda =f(x_\lambda) \geq \inf_{x>x_0} f(x) = f_+(x_0) &\qquad \text{, se $f$ è crescente}\\
\lambda =f(x_\lambda) \leq \sup_{x>x_0} f(x) = f_+(x_0) &\qquad \text{, se $f$ è decrescente}
\end{split}
\]
quindi in ogni caso $\lambda$ non apparterrebbe all'intervallo di estremi \(f_- (x_0)\) ed $f_+(x_0)$.

[matteoorlandini]

Grazie gugo, gentilissimo e precisissimo.