Dimostrazione divergenza serie armonica

[Gmork]

Qualcuno sa dirmi perchè nella dimostrazione della divergenza della serie armonica, dopo aver scelto [tex]\epslon=1/2[/tex] e p=n si ha che:

[tex]\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=n\frac{1}{2n}[/tex] ???

[misanino]

Ci sono tante dimostrazioni della divergenza della serie armonica.
Tu a quale ti riferisci?
E poi non hai capito solo la minorazione segnata o perchè si arriva lì?

[Gmork]

non ho capito solo la disuguaglianza. Comunque la dimostrazione alla quale mi riferisco è quella in cui si suppone per assurdo che la serie converga e quindi risulti verificato il criterio di Cauchy, ovvero che

preso un [tex]\varepsilon>0[/tex] esiste un [tex]n_\varepsilon[/tex] tale che per ogni [tex]n\ge n_\varepsilon[/tex]e per ogni naturale [tex]p[/tex] accada che:

[tex]|\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+p}|<\varepsilon[/tex]

poi si sceglie [tex]\varepsilon=1/2[/tex] ad esempio e [tex]p=n[/tex] e quindi si assume per assurdo che

[tex]|\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}|<1/2[/tex]

ma in realtà avviene la contraddizione basata sulla disuguaglianza di prima.

[misanino]

Allora se non hai capito solo la disuguaglianza, te la spiego subito.
Hai $1/(n+1)+...+1/(2n)$ e quindi hai la somma di n termini.
Ora $1/(n+1)>1/(2n)$. Infatti $2n>(n+1)$ e dato che tali termini vanno a denominatore, ovviamente una frazione con denominatore grande sarà più piccola e quindi $1/(2n)<1/(n+1)$.
La stessa cosa vale per $1/(n+k)$ con $k Perciò abbiamo che $1/(n+1)+...+1/(2n)>1/(2n)+...+1/(2n)$ e ho quindi la somma di n termini tutti uguali a $1/(2n)$.
Allora ho n volte $1/(2n)$ cioè ho $n*1/(2n)=1/2$
e hai finito.
Hai capito?

[Gmork]

Si si, tutto chiaro, Grazie^^