Dimostrazione divergenza serie armonica
Ho problemi con questa dimostrazione https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_arm ... ostrazione
Cosa succede quando si va a calcolare la differenza tra la sottosuccessione e la successione?
Cosa succede quando si va a calcolare la differenza tra la sottosuccessione e la successione?
Risposte
Ciao! Cos'è che non è chiaro?
Il perché della disuguaglianza
Intendi questa?
\[\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k}\ge \sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{2n}\]
Beh, i termini della prima somma sono tutti $\ge $ dei termini della seconda somma:
\[n+1,\ n+2,\dots,\ 2n\le 2n\implies \dfrac{1}{n+1},\ \dfrac{1}{n+2},\dots,\ \dfrac{1}{2n}\ge \dfrac{1}{2n}\]
\[\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k}\ge \sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{2n}\]
Beh, i termini della prima somma sono tutti $\ge $ dei termini della seconda somma:
\[n+1,\ n+2,\dots,\ 2n\le 2n\implies \dfrac{1}{n+1},\ \dfrac{1}{n+2},\dots,\ \dfrac{1}{2n}\ge \dfrac{1}{2n}\]
Ciao Plinio78,
Per essere proprio chiari chiari:
$ S_{2n} - S_n = sum_{k = n + 1}^{2n} 1/k = frac{1}{n + 1} + frac{1}{n + 2} + ... + frac{1}{2n} \ge sum_{k = n + 1}^{2n} frac{1}{2n} = $
$ = \underbrace{frac{1}{2n} + frac{1}{2n} + ... + frac{1}{2n}}_{(2n - (n + 1) + 1) \text{ volte}} = \underbrace{frac{1}{2n} + frac{1}{2n} + ... + frac{1}{2n}}_{n \text{ volte}} = n \cdot frac{1}{2n} = 1/2 $
Per essere proprio chiari chiari:
$ S_{2n} - S_n = sum_{k = n + 1}^{2n} 1/k = frac{1}{n + 1} + frac{1}{n + 2} + ... + frac{1}{2n} \ge sum_{k = n + 1}^{2n} frac{1}{2n} = $
$ = \underbrace{frac{1}{2n} + frac{1}{2n} + ... + frac{1}{2n}}_{(2n - (n + 1) + 1) \text{ volte}} = \underbrace{frac{1}{2n} + frac{1}{2n} + ... + frac{1}{2n}}_{n \text{ volte}} = n \cdot frac{1}{2n} = 1/2 $
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