Dimostrazione disuguaglianze

[brownbetty1]

Salve a tutti.

Ho una funzione $r: [a; b]->RR^3$ di classe $C^1$, e quindi $r'(t)$ sarà uniformemente continua in $[a; b]$. Di conseguenza, se $t \in [t_j; t_(j+1)] \subseteq [a; b]$, allora $||r'(t) - r'(t_j)|| < \epsilon$. E fin qui tutto chiaro. Adesso io non capisco perché l'ultima disuguaglianza implichi che:

$||r'(t)|| < ||r'(t_j)|| + \epsilon$.

E inoltre non capisco come da quest'ultima, a sua volta, si giunga a scrivere (forse si usa il teorema di Lagrange ?):

$ int_(t_j)^(t_(j+1)) ||r'(t)||dt <= ||r'(t_j)||(t_(j+1)-t_j) + \epsilon(t_(j+1)-t_j) $ .

Grazie anticipatamente!

[Frink1]

Disuguaglianza triangolare inversa? Per quanto riguarda l'integrale, mi pare piuttosto intuitivo, una volta data la disuguaglianza al primo punto...

[brownbetty1]

Ciao, grazie per aver risposto. Se uso la disuguaglianza triangolare inversa, come faccio a provare che $|(||r'(t)|| - ||r'(t_j)||)| = ||r'(t)|| - ||r'(t_j)||$, cioè $||r'(t)|| > ||r'(t_j)||$ ?

Per la seconda disuguaglianza adesso ci sono.

[brownbetty1]

up

[Frink1]

A me pare che

$ ||r(t)||-||r(t_j)||<=|(||r(t)||)-(||r(t_j)||)|<=||r(t)-r(t_j)|| $

per definizione di valore assoluto. E' una catena di disuguaglianze che mi pare funzionare...

[brownbetty1]

Adesso ci sono, non ricordavo quella proprietà del valore assoluto.
Grazie mille della pazienza