Dimostrazione disuguaglianze
Salve a tutti.
Ho una funzione $r: [a; b]->RR^3$ di classe $C^1$, e quindi $r'(t)$ sarà uniformemente continua in $[a; b]$. Di conseguenza, se $t \in [t_j; t_(j+1)] \subseteq [a; b]$, allora $||r'(t) - r'(t_j)|| < \epsilon$. E fin qui tutto chiaro. Adesso io non capisco perché l'ultima disuguaglianza implichi che:
$||r'(t)|| < ||r'(t_j)|| + \epsilon$.
E inoltre non capisco come da quest'ultima, a sua volta, si giunga a scrivere (forse si usa il teorema di Lagrange ?):
$ int_(t_j)^(t_(j+1)) ||r'(t)||dt <= ||r'(t_j)||(t_(j+1)-t_j) + \epsilon(t_(j+1)-t_j) $ .
Grazie anticipatamente!
Ho una funzione $r: [a; b]->RR^3$ di classe $C^1$, e quindi $r'(t)$ sarà uniformemente continua in $[a; b]$. Di conseguenza, se $t \in [t_j; t_(j+1)] \subseteq [a; b]$, allora $||r'(t) - r'(t_j)|| < \epsilon$. E fin qui tutto chiaro. Adesso io non capisco perché l'ultima disuguaglianza implichi che:
$||r'(t)|| < ||r'(t_j)|| + \epsilon$.
E inoltre non capisco come da quest'ultima, a sua volta, si giunga a scrivere (forse si usa il teorema di Lagrange ?):
$ int_(t_j)^(t_(j+1)) ||r'(t)||dt <= ||r'(t_j)||(t_(j+1)-t_j) + \epsilon(t_(j+1)-t_j) $ .
Grazie anticipatamente!
Risposte
Disuguaglianza triangolare inversa? Per quanto riguarda l'integrale, mi pare piuttosto intuitivo, una volta data la disuguaglianza al primo punto...
Ciao, grazie per aver risposto. Se uso la disuguaglianza triangolare inversa, come faccio a provare che $|(||r'(t)|| - ||r'(t_j)||)| = ||r'(t)|| - ||r'(t_j)||$, cioè $||r'(t)|| > ||r'(t_j)||$ ?
Per la seconda disuguaglianza adesso ci sono.
Per la seconda disuguaglianza adesso ci sono.
up
A me pare che
$ ||r(t)||-||r(t_j)||<=|(||r(t)||)-(||r(t_j)||)|<=||r(t)-r(t_j)|| $
per definizione di valore assoluto. E' una catena di disuguaglianze che mi pare funzionare...
$ ||r(t)||-||r(t_j)||<=|(||r(t)||)-(||r(t_j)||)|<=||r(t)-r(t_j)|| $
per definizione di valore assoluto. E' una catena di disuguaglianze che mi pare funzionare...
Adesso ci sono, non ricordavo quella proprietà del valore assoluto.
Grazie mille della pazienza
Grazie mille della pazienza
